2.1 数制及其转换

通过前面的学习，我们知道单片机是数字计算机的一个重要分支。学习单片机也离不开数字基础。

例如，单片机进行数据处理时只能使用二进制数据，编程和计算地址时需要用到十六进制数据，而人们在使用数据时往往习惯使用十进制数据，这就是数制问题。如何将三者有机统一，这就是数制之间的转换问题。

2.1.1 数制

十进制数有10个不同的数字符号：0、1、2、…、9，低位向高位进位的规律是“逢十进一”，“10”代表十进制数的10，记做10D。

二进制数有2个不同的数字符号：0和1，低位向高位进位的规律是“逢二进一”，“10”代表十进制数的2，记做10B。

十六进制数有16个不同的数字符号：0、1、2、…、9、A、B、C、D、E、F，低位向高位进位的规律是“逢十六进一”，“10”代表十进制数的16，记做10H。

任意一个十进制数N都可以表示成按权展开的多项式：

其中，di是0～9共10个数字中的任意一个，m是小数点右边的位数，n是小数点左边的位数，i是数位的序数。例如，543.21可表示为：

543.21=5 ×102 +4 ×101 +3 ×100 +2 ×10 -1 +1 ×10 -2

任意一个十六进制数N可以表示成按权展开的多项式：

其中，di是0～F共16个数字中的任意一个，m是小数点右边的位数，n是小数点左边的位数，i是数位的序数。例如，54E.21H可表示为：

54E.21H=5 ×162 +4 ×161 +14 ×160 +2 ×16 -1 +1 ×16 -2

任意一个二进制数N都可以表示成按权展开的多项式：

其中，di是0、1两个数字中的任意一个，m是小数点右边的位数，n是小数点左边的位数，i是数位的序数。例如，101.01B可表示为：

101.01B=1 ×22 +0 ×21 +1 ×20 +0 ×2 -1 +1 ×2 -2

一般而言，对于用R进制表示的数N，可以按权展开为：

式中，ai是0、1、…、（R-1）中的任意一个，m、n是正整数，R是基数。在R进制数中，每个数字所表示的值是该数字与它相应的权Ri的乘积，计数原则是“逢 R进一”。

2.1.2 数制之间的转换

首先，我们看看二进制数与十六进制数之间存在怎样的关系。

下面我们了解一下二进制数的计数方法：

0000（B）=0（H）

0001（B）=1（H）

0010（B）=2（H）

0011（B）=3（H）

0100（B）=4（H）

0101（B）=5（H）

0110（B）=6（H）

0111（B）=7（H）

1000（B）=8（H）

1001（B）=9（H）

1010（B）=A（H）

1011（B）=B（H）

1100（B）=C（H）

1101（B）=D（H）

1110（B）=E（H）

1111（B）=F（H）

其中，（B）代表二进制数，（H）代表十六进制数。

从中不难看出，4位二进制数刚好是一位十六进制数。

同一个数，用二进制表示需要8位，但用十六进制表示只需要2位。这就是我们引进十六进制数的理由。它使我们书写起来可以更简单。

计算机使用二进制数，我们书写时采用十六进制数。

实际上，n位二进制数可以表示2n种组合。

1位能表示21种组合（0、1），在计算机中称为位。

4位能表示24 =16 种组合（0 ～15 的整数，即1 位十六进制数），在计算机中称为半字节。

8位二进制能表示28 =256种组合（0 ～255的整数，即2位十六进制数），00H～FFH即为000D～255D共256个数字。8位二进制数在计算机中称为字节。

我们了解了二进制数和十六进制数的计数方法后，就不难看出它们之间的对应转换关系了。

2.1.3 非十进制数与十进制数转换

十进制数转换成非十进制数，转换时将整数部分与小数点部分分别转换。

整数部分采用除基数取余法，直至商为0，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用乘基数取整法，直至乘积为整数或达到控制精度为止。

【例2.1】 将十进制数168转换成二进制数和十六进制数。

解：整数采用除基数取余法。

所以，168D=10101000B；168D=A8H。

【例2.2】 将0.625D转换成二进制数和十六进制数

解：小数部分采用乘基数取整法，直至乘积为整数或达到控制精度为止。

转换为二进制数：乘2取整。

0.625 ×2=1.25取整数1，0.25 ×2=0.50取整数0，0.5 ×2=1取整数1。

所以，0.625D=0.101B。

转换为十六进制数：乘16取整。

0.625 ×16=10取整数A。

所以，0.625D=0.AH。

2.1.4 二进制数和十六进制数之间的转换

由于二进制数和十六进制数之间的特殊关系，可以采用分组法快速转换。将二进制数转换成十六进制数可按4位一组进行分组，每一组对应十六进制的相应数码，如表2.1所示，组合后即可得转换结果。分组时如果位数不够一组，整数部分在最左边补0，小数部分在最右边补0。

将十六进制数转换成二进制数，只需将其每一位对应转换成二进制数的4位即可。

【例2.3】 将二进制数1011010.101B转换成十六进制数。

所以，1011010.101B=5A.AH。

【例2.4】 将十六进制数8E.38H转换成二进制数。

所以，8E.38H=10001110.00111B。