1.1 LC选频网络

在通信系统中，信号在传输过程中不可避免地会受到各种噪声的干扰。干扰噪声包括自然界存在的各种电磁波源（闪电、宇宙星体、大气热幅射等）和其他无线通信设备发射的电信号等。接收设备的首要任务就是把所需的有用信号从众多无用信号和噪声中选取出来并放大，同时应抑制和滤除无用信号和各种干扰噪声。选频网络在高频电子电路中得到广泛的应用，它能选出我们所需要的频率分量和滤除不需要的频率分量，因此掌握各种选频网络的特性及分析方法是很重要的。在高频电子电路中应用的选频网络可分为两大类。第一类是由电感和电容元件组成的谐振回路，它又可分为单谐振回路及耦合谐振回路；第二类是各种滤波器，如LC集中滤波器，石英晶体滤波器，陶瓷滤波器和声表面波滤波器等。

1.1.1 选频网络的基本特性

在通信系统中，多数情况下要传输的电信号并不是单一频率的信号，都含有很多频率成分，信号能量的主要部分总是集中在一定宽度的频带范围内，是占有一定频带宽度的频谱信号。这就要求选频电路的通频带宽度应与所传输信号的有效频谱宽度相一致。为了不引起信号的幅度失真，理想的选频电路在通频带内的幅频特性H（f）应满足

为抑制通频带外的干扰，选频电路在通频带外的幅频特性H（f）应满足

显然，理想的幅频特性应是矩形，即是一个关于频率的矩形窗函数，在通频带内各频率点的幅频特性相等，通频带之外各频率点的幅频特性为0。图1.1中所示的矩形为理想选频电路的幅频特性曲线，其纵坐标是α（f）=H（f）/H（fo），称为归一化幅频特性函数，fo为选频电路的谐振频率。

由信号与系统的理论可知，幅频特性为矩形窗函数的选频电路是一个物理不可实现的系统，因此实际选频电路的幅频特性只能是接近于矩形，如图1.1中所示。接近的程度与选频电路本身的结构形式有关。通常用矩形系数K0.1表示，其定义为

式中，2Δf0.7为α（f）由1下降到时，两边界频率f1与f2之间的频带宽度，称为通频带，通常用B表示，即

2Δf0.1为α（f）下降到0.1处的频带宽度。显然，理想选频电路的矩形系数K0.1=1，而实际选频电路的矩形系数均大于1。

由于回路幅频特性曲线不是理想矩形，而且在通频带内有一定的不均匀性，所以具有一定频带宽度的信号作用于回路时，回路中的电流或回路端电压便不可避免地会产生频率失真。为了减小这种失真，必须使信号的频带处于谐振曲线变化比较均匀的部分。为此，引出通频带的概念。通常，在通频带的范围内所产生的频率失真被认为是允许的。

另外，信号通过选频电路，为了不引入信号的相位失真，要求在通频带范围内选频电路的相频特性应满足

式中，τg为各频率分量通过选频电路之后的群延迟时间，也称包络延迟时间。在理想条件下信号有效频带宽度之内的各频率分量通过选频电路之后，都延迟一个相同的时间τg=τ（常数），这样才能保证输出信号中各频率分量之间的相对关系与输入信号完全相同。

实际选频回路的相频特性曲线如图1.2所示。在传送一定频带宽度的信号时，由于回路的相频特性不是一条直线，所以回路的电流或端电压对各个频率分量所产生的相移不成线性关系，这就不可避免地会产生相位失真，使选频回路输出信号的包络波形产生变化。对传输图像信号或数字信号的通信设备来说，必须考虑这种失真。实际上，完全满足上述要求并非易事，往往只能在一定的条件下进行合理的近似。

1.1.2 LC选频回路

LC选频回路是高频电路里最基本的，也是应用最广泛的选频网络，它是构成高频谐振放大器、正弦波振荡电路及各种选频电路的重要基础部件。所谓选频是指从各种输入频率分量中选择出有用信号而抑制掉无用信号和噪声，这对于提高整个电路输出信号的质量和抗干扰能力是极其重要的。另外，用L，C元件还可以组成各种形式的阻抗变换电路。

1.LC单谐振回路选频特性

LC单谐振回路分为并联回路和串联回路两种形式，其中并联回路在实际电路中的用途更广泛，且二者之间具有一定的对偶关系，所以本书将着重介绍并联谐振回路，并通过对比的方法来分析并联回路和串联回路各自的特性及基本电路参数。

（1）电路结构

LC单谐振回路就是由电感L和电容C并联或串联形成的回路，它具有谐振特性和频率选择作用。图1.3所示为两种最简单的并联谐振回路和串联谐振回路。图中，R是电感线圈中的损耗电阻，iS和RS是并联谐振回路的外加信号源，uS和RS是串联谐振回路的外加信号源。

（2）回路阻抗

谐振回路的谐振特性可以从它们的阻抗频率特性看出。在图1.3（a）所示的并联谐振回路中，当信号频率为ω时，其输入端口的并联阻抗为

在实际应用中，通常都满足ωL≫R的条件（下面分析并联回路时都考虑此条件，除非另加说明）。因此

由于采用导纳分析并联谐振回路比较方便，为此引入并联谐振回路的导纳

式中 为电导，为电纳。

同理，如图1.3（b）所示的串联谐振回路中，当信号频率为ω时，其输入端口的串联阻抗为

式中，RS=R为电阻 为电抗。

由式（1-7）、式（1-8）和式（1-9）可以看出，LC谐振回路的端口阻抗是信号频率ω的函数，且并联谐振回路的导纳和串联谐振回路的阻抗呈对偶关系。

（3）回路的谐振特性

1）谐振条件

当LC谐振回路的总电纳B（并联回路）或总电抗X（串联回路）为0时，所呈现的状态称为LC谐振回路对外加信号源频率ω谐振。显然

并联回路的谐振条件为

串联回路的谐振条件为

2）谐振频率

当LC谐振回路满足谐振条件时的工作频率称为LC谐振回路的谐振频率。显然由式（1-10）、式（1-11）可以推出并联回路和串联回路的谐振频率均为

3）回路的品质因数Q

由于回路谐振时，回路的感抗值和容抗值相等，即。我们把回路谐振时的感抗值（或容抗值）与回路的损耗电阻R之比称为回路的品质因数，以Q表示，简称为Q值，则有

值得注意的是，式（1-13）对并联回路及串联回路都适用。另外，品质因数Q实际上反映了LC谐振回路在谐振状态下储存能量与损耗能量的比值。利用回路电感L或电容C储存的最大能量与回路电阻损耗的平均能量的比，也可得与式（1-13）相同的结果。

4）谐振阻抗

当并联回路谐振时，信号频率使回路的感抗与容抗相等，即总电纳B为零。此时并联回路的阻抗ZP最大，并为一纯电阻RP。由式（1-7）可得

在实际应用中为了分析问题的方便，常将图1.3（a）所示的并联谐振回路等效为如图1.4所示电路，图中RP即为谐振阻抗。利用图1.4所示电路可以方便地计算出并联谐振回路的阻抗ZP及导纳YP，即

显然式（1-15）、式（1-16）与式（1-7）、式（1-8）是等效的，但图1.4所示的并联等效电路及式（1-15）、式（1-16）更便于对电路的分析，是我们今后常用的工具。另外，由图1.4所示的并联等效电路，利用谐振状态下储存能量与损耗能量的比值，也可以计算出并联回路的品质因数，即

式中，。显然式（1-17）与式（1-13）是等效的。另外由式（1-17）可得

可见，并联回路的谐振电阻值是谐振时回路感抗值ωoL或回路容抗值1/ωoC的QP倍。

同理可得，当回路谐振时，串联回路的阻抗ZS最小，并为一纯电阻RS。由式（1-9）可得

由以上的分析可以看出，谐振是LC谐振回路的重要特性，当回路谐振时，不论是并联回路还是串联回路，回路的总感抗与总容抗大小相等，回路的总阻抗等效为一纯电阻；但并联回路的谐振电阻取最大值，串联回路的谐振电阻取最小值。

5）谐振时电压与电流的关系

在图1.4所示的并联等效电路中，发生并联谐振时，流过L支路的电流iL（jωo）是感性电流，它落后回路端电压90°；流过C支路的电流iC（jωo）是容性电流，超前回路端电压90°；流过RP支路的电流iR（jωo）与回路端电压u（jωo）同相，电流与电压的矢量图如图1.5所示。由于谐振时iL（jωo）与iC（jωo）大小相等，相位相反，因此流入回路输入端的电流i（jωo）正好就是流过谐振电阻RP支路的电流iR（jωo）。各支路电流与电压的关系为

谐振回路端电压取最大值：

电感支路电流：

电容支路电流：

可见，并联谐振时，回路的输入端电流i（jωo）并不大，但电感和电容支路上的电流却很大，等于输入端电流i（jωo）的Q倍。所以并联谐振又称为电流谐振。

同样在图1.3（b）所示的串联谐振回路中，发生谐振时，因阻抗最小，流过电路的电流最大。同时，因电流最大，电容C和电感L上的电压也最大。串联谐振时回路中电压与电流关系的矢量图如图1.6所示。

若设串联谐振时的频率为ωo，则有

回路电流取最大值：

电感端电压：

电容端电压：

可见，串联谐振时，回路的输入端口电压u（jωo）并不大，但电感和电容上的端电压却很大，等于输入端口电压u（jωo）的Q 倍。所以串联谐振又称为电压谐振。这一特点与并联谐振的情况成对偶关系。

（4）回路的频率特性

1）阻抗频率特性

由式（1-7）、式（1-8）和式（1-9）可以看出，LC谐振回路的端口阻抗是信号频率ω的函数。并联回路和串联回路的端口阻抗可分别表示为

由于QP=RPωoC，，而实际应用中，外接信号源频率ω与回路的谐振频率ωo之差Δω=ω-ωo表示频率偏离谐振的程度，Δω称为失谐或失调。由于LC谐振回路在正常工作时ω与ωo相差不大，即ω与ωo很接近，即ω≈ωo，因此

将式（1-28）代入式（1-26）和式（1-27）中可得

式中 称为广义失谐。|ZP|和|ZS|是并联回路和串联回路阻抗的模；φP和φS是阻抗的相角，即

并联回路及串联回路的阻抗频率特性分别如图1.7和图1.8所示。

由图1.7和图1.8所示的阻抗频率特性曲线可以看出：①当ω＜ωo时，并联LC谐振回路呈电感性，即φP＞0；串联LC谐振回路呈电容性，即φS＜0。②当ω＞ωo时，并联LC谐振回路呈电容性，即φP＜0；串联LC谐振回路呈电感性，即φS＞0。③当ω=ωo时，并联回路和串联回路均呈纯电阻性，但并联回路取最大值RP，串联回路取最小值RSo。显然并联回路的阻抗频率特性与串联回路阻抗频率特性呈对偶关系。

2）幅频特性曲线与相频特性曲线

定义：并联谐振回路的端电压振幅与工作频率之间的关系曲线称为并联谐振回路的幅频特性曲线；串联谐振回路的回路电流振幅与工作频率之间的关系曲线称为串联谐振回路的幅频特性曲线。

实际中常用的幅频特性曲线为归一化幅频特性曲线，即与谐振时的最大幅值之比的幅频特性曲线。利用式（1-14）、式（1-19）和式（1-31），并根据以上定义可得

并联谐振回路的幅频特性：

串联谐振回路的幅频特性：

可以看出，尽管并联回路和串联回路幅频特性的定义有差异，但幅频特性的表达式却是相同的。

同样定义：并联谐振回路的端电压的相位与工作频率之间的关系曲线称为并联谐振回路的相频特性曲线。串联谐振回路的回路电流的相位与工作频率之间的关系曲线称为串联谐振回路的相频特性曲线。由以上定义和式（1-32）可得，并联（串联）谐振回路端电压（电流）的相位ΨP（ΨS）与回路阻抗相位φP（φS）的关系为

式中 为广义失谐。显然，相频特性的表达式是相同的。根据式（1-33）～式

（1-35），取不同的自变量，绘出的幅频特性和相频特性曲线如图1.9所示。

3）通频带和矩形系数

根据前述通频带的定义，当αP或αS由1下降到时，两边界频率ω1与ω2之间的频带宽度，即为通频带，如图1.10所示。由式（1-33）或式（1-34），令

可得 。所以通频带为

可见，并联回路和串联回路的通频带与回路的Q 值有关，一般Q值越大回路损耗越小，谐振曲线越陡峭，通频带越窄，如图1.9所示。

同理，如果令 ，可得，所以有 ，

根据矩形系数的定义可得

可见，LC并联回路和串联回路的矩形系数远大于1，与理想选频特性比较，频率的选择性较差。

2.信号源内阻及负载对LC回路的影响

一个实用的LC并联回路和串联回路总是要外接信号源和负载的，当考虑到信号源内阻RS及负载RL后（如图1.11所示），并联回路和串联回路的等效品质因数（称为有载Q 值）分别为

与空载时的 和 相比较，可得

由式（1-38）、式（1-39）和图1.11可以看出，当LC谐振回路外接信号源内阻RS及负载RL后，回路的损耗增加，有载QL值下降，因此通频带加宽，选择性变坏。一般并联回路RS或RL的阻值越小，有载QPL越小；串联回路RS或RL的阻值越大，有载QPL越小。

[例1-1] 设一并联谐振回路，谐振频率fo=10MHz，回路电容C=50pF，试计算所需线圈的电感值L。又若线圈品质因数为Q=100，试计算回路谐振电阻及回路带宽。若放大器所需的带宽为0.5MHz，则应在回路上并联多大电阻才能满足放大器所需带宽要求？

解：（1）计算L值。由式（1-12），可得

将fo=10MHz代入，得L=5.07μH。

（2）回路谐振电阻和带宽。由式（1-18）可得

RP=Qωo L=100×2π×107×5.07×10-6=31.8kΩ

回路带宽为

B=fo/Q =100kHz

（3）求满足0.5MHz带宽的并联电阻。设回路上并联电阻为R1，并联后的总电阻为RP//R1，回路的有载品质因数为QL。由带宽公式得

QL=fo/B

此时要求的带宽B=0.5MHz，故QL=20。

回路总电阻为

需要在回路上并联7.97kΩ的电阻。

1.1.3 LC阻抗变换网络

由上述分析可以看出，实际工作中信号源内阻RS及负载RL对LC谐振回路的影响较大，会使谐振回路的Q值下降，通频带加宽，选择性变坏。通常情况下，信号源内阻RS与负载电阻RL的数值都是固定值，不能选择。那么，如何降低它们对回路Q 值的影响呢？在高频电路中常采用LC阻抗变换网络，将RS或RL变换成合适的值后再与回路连接即可。下面介绍一些常采用的LC阻抗变换网络。

1.串、并联阻抗等效互换

为了分析电路的方便，常需把串联电路变换为并联电路，如图1.12所示。其中X1为电抗（纯电感或纯电容元件），RX为X1的损耗电阻，R1为与X1串联的外接电阻；X2为等效互换后的电抗元件，R2为转换后的电阻。

等效互换的原则是：等效互换前的电路与等效互换后的电路阻抗相等，即

所以有

由于等效互换前后回路的品质因数应相等，即

由式（1-41），并利用式（1-43），可得

所以

同理，由式（1-42），并利用式（1-43），可得

一般来说，Q1总是比较大的，当Q1≫10时，由式（1-45）和式（1-46）可得

式（1-47）的结果表明：串联电路转换成等效并联电路后，X2的电抗特性与X1的相同。当Q1较大时，X2=X1基本不变，而R2是（R1+RX）的 倍。

2.变压器阻抗变换电路

变压器阻抗变换电路如图1.13所示。假设初级电感线圈的圈数为N1，次级圈数为N2，且初次级间为全耦合（k=1），线圈损耗忽略不计，则等效到初级回路的电阻上所消耗的功率应和次级负载RL上所消耗功率相等，即

，或

又因全耦合变压器初次级电压比u1/u2等于相应圈数比N1/N2，故有

若 ，则 ；， 。可通过改变 的比值来调整 的大小。

3.部分接入回路的阻抗变换

在高频电路的实际应用中，常用到激励信号源或负载与振荡回路中的电感或电容采用部分接入的并联谐振回路，一般称为部分接入并联谐振回路。典型实用的部分接入并联谐振回路如图1.14所示。图中C1、C2和L1、L2共同构成并联谐振回路，激励信号源iS、RS与负载RL采用部分接入方式接入并联谐振回路中。常用的部分接入方式有，电感抽头部分接入和电容分压部分接入。

在对电路进行定量分析时，通常把部分接入（c、b和d、b端口）的外电路iS、RS与RL等效到并联回路两端（a、b端口），如图1.15所示。图中并联谐振回路的总电容和总电感为

式中，M 为L1与L2之间的互感系数。当L1与L2绕向一致时，M 取正号；绕向相反时，M

取负号。另外 、 和 为等效变换后的激励信号源与负载。

当回路谐振时，利用功率等效的关系，可得

因此

于是可得

式中，，，p为接入系数（或抽头系数）。通常定义

当回路处于谐振或失谐不大，且外电路分流很小可以忽略（i≪iL）的条件下，电感线圈抽头回路的接入系数，可根据如图1.16所示的电路分为以下几种情况进行讨论。

① 当忽略线圈抽头两部分之间的互感时

式中，L=L1+L2。

② 若设线圈抽头两部分之间的互感为M 时，则

式中，L=L1+L2±2M。

③ 对紧耦合的线圈（互感变压器），若设线圈抽头匝数为N1，总匝数为N，则

式中，N=N1+N2。

同理，在外电路分流较小的条件下，对于电容分压的部分接入回路（如图1.17所示），可得

式中，。

由以上分析可以看出，通过改变部分接入并联谐振回路的抽头位置，可以进行阻抗变换，实现回路与信号源及负载之间的阻抗匹配。由式（1-51）可以看出，通常p＜1，所以 和 总是大于RS和RL。即由低抽头向高抽头转换时，等效阻抗提高了1/p2倍，由高抽头向低抽头转换时，等效阻抗会降低p2倍。另外必须指出，在上面的分析中曾假设i≪iL，当p较小时将不能满足该条件。在实际应用中，当回路失谐不大，上述使用条件为iL/i=pQ≫1时，c、b （或d、b）端口的外接阻抗Zcb与等效到回路两端的阻抗Zab也有类似式（1-50）的关系，即Zcb=p2Zab（或Yab=p2Ycb）。

*1.1.4 双耦合谐振回路及其选频特性

单谐振回路的选频特性不够理想：带内不平坦，带外衰减变化很慢，频带较窄，选择性较差，有时不能满足实际需要。另外，单谐振回路阻抗变换功能也不灵活。当频率较高时，电感线圈圈数很少（由式（1-54）可以看出），接入系数很小，负载阻抗可能很低，结构上难以实现阻抗变换功能。为此，引出双耦合回路。它是由两个或两个以上的单回路，通过不同的耦合方式组成的选频网络。

最常用的双耦合回路由两个单谐振回路通过互感或电容耦合组成，如图1.18所示。接有激励信号源的回路，称为初级回路；与负载相连接的回路，称为次级回路。在图1.18中，（a）和（c）是通过互感M 耦合的串联型和并联型双耦合回路，称为互感双耦合回路；（b）和（d）是通过电容CM耦合的串联型和并联型双耦合回路，称为电容耦合回路。改变M 或CM就可改变其初、次级回路之间的耦合程度，通常用耦合系数来表征。下面以互感耦合回路为例，分析它的选频特性，其结论也适用于电容耦合回路。

1.耦合系数

耦合系数的定义是：耦合元件电抗的绝对值，与初、次级回路中同性质元件电抗值的几何中项之比，常以k表示。有

互感耦合回路：

电容耦合回路：

k是无量纲的常数。一般地，k＜1%，称很弱耦合；k=1%～5%，称弱耦合；k=5%～90%，称强耦合；k＞90%，称很强耦合；k=100%，称全耦合。k值大小，能极大地影响耦合回路频率特性曲线的形状。

2.互感耦合回路的谐振特性曲线

根据图1.18（a）可列出初、次级回路的基尔霍夫方程式

式中，Z11、Z22分别是初、次级回路的自阻抗。其中

解由式（1-57）和式（1-58）组成的方程组，可得初、次级回路电流表示式分别为

式中，Zf1=（ωM）2/Z22是次级反映到初级回路的反映阻抗；Zf2=（ωM）2/Z11是初级反映到次级回路的反映阻抗。-jω MuS/Z11是次级开路时，初级电流i1在次级电感L2两端所感应的电势。初、次级回路的等效电路如图1.19所示。

当耦合回路作为端口网络应用时，我们更感兴趣的是它的输出回路电流i2与输入信号uS比值（转移导纳）的频率特性。由式（1-60）可得

式中 ，分别为初、次级回路的广义失谐因子。

为简化分析，假设初、次回路元件参数对应相等，即L1=L2=L，C1=C2=C，R1=RL=R。则有ωo1=ωo2=ω，Q1=Q2=Q，，ξ1=ξ2=ξ。式（1-61）可重写成

令 ，称为耦合因数，将其代入式（1-62）可得

显然，当η=1，=0时，Y21取最大值 ，于是可得转移导纳的归一化值

其幅频特性为

由式（1-63）可以看出，归一化谐振曲线|α（ξ，η）|的表示式是ξ的偶函数。因此，谐振曲线相对于纵坐标轴而言是对称的。若以ξ为变量，η为参变量，由式（1-63）可画出转移导纳的归一化谐振特性曲线，如图1.20所示。可看出η的值不同，曲线形状也不同。讨论如下：

（1）η=1，即kQ=1，称为临界耦合。由图1.20可见临界耦合谐振曲线是单峰曲线。在谐振点上（ξ=0），|α（ξ，η）|ξ=0=1，次级回路电流达到最大值。此时，式（1-63）变为

若令 ，代入式（1-64）可得 。据此求得通频带

与式（1-36）比较可以看出，在Q值相同情况下，临界耦合双回路的通频带是单回路的倍。

为求临界耦合情况下的矩形系数，令式（1-64）中的，可解得

故

与单回路比较，可见矩形系数小得多。因此，临界耦合双回路的通频带较宽，选择性也较好。

（2）η＜1，为弱耦合状态。由式（1-63）可知，其分母中各项均为正值，随着|ξ|的增大，分母也随着增大，所以α减小。在ξ=0时

可见，当η＜1时，η的值越小，则α的值越小，通频带也变得越窄。

（3）η＞1为过耦合情况。式（1-63）分母中的第二项2（1-η2）ξ2为负值，随|ξ|增大此负值也随着增大，但第三项ξ4随|ξ|的增大会增大得更快。因此，当|ξ|较小时，分母随|ξ|增大而减小；当|ξ|较大时，分母又随|ξ|增大而增大。所以，随着|ξ|的增大，α的值先是增大，而后又减小，在ξ=0处的两边必然形成双峰，ξ=0处为谷点。正如图1.20中η＞1的曲线所示，η值越大，两峰点相距越远，谷点下凹也越厉害。由于特性曲线的最大值应位于α=1处，若令

可得

（1+η2-ξ2）2+4ξ2=（2η）2

整理得

1-η2+ξ 2=0

解得

上式表明，特性曲线呈双峰，峰值点分别位于

处。而在ξ=0处，曲线处于谷

值，其值为

可以看出耦合因数η越大，峰值距离越大，相应的谷值越小。但通常η的最大取值不应使，这样会使幅频特性曲线双峰间的谷值过小，通频带内响应不均匀

如果令

可求得ηmax=2.41，代入式（1-63）中，令，可得

可见在相同的Q值下，式（1-72）所表示的通频带是单谐振回路通频带的3.1倍。

必须指出，上述分析都是在假定初、次级元件参数相同情况下所得出的结论。如果初、次级元件参数不同，分析将会十分繁琐，实际电路又不常见，故不再讨论。