1.4 信号的运算与波形变换
和数学中的函数运算一样，信号也可以进行各种运算，在信号处理中，会涉及因自变量变换而导致的信号变换。信号经过任何一种运算和变换后都将产生新的信号。下面着重以连续时间信号为例，介绍信号的几种常用的运算和波形变换。
1.信号的加、减法
任一瞬时的和（或差）信号等于两个信号在该时刻取值之和（或差），即
信号的加法如图1-31所示。
图1-31 信号的加法
2.信号的乘法
任一瞬时的乘积信号的值等于两个信号的在该时刻取值之积（如图1-32所示），即
图1-32 信号的乘法
收音机的调幅信号就是信号相乘的一个例子，它是将音频信号f1（t）加载到被称为载波的正弦信号f2（t）上而形成的。
3.信号的标乘
将信号f（t）乘以一个常数的运算就叫做标乘运算，即
式中，a一般为复常数。
如果a为正实数，标乘运算的结果是在原信号幅度上放大（a＞1）或缩小（1＞a＞0）a倍；如果a为负实数，不仅幅度会放大或缩小，极性也会发生变化。信号的标乘如图1-33所示。
图1-33 信号的标乘
4.翻转
将信号f（t）中的自变量t换成-t，即由f（t）变为f（-t），就叫做信号的翻转。其几何意义是将信号f（t）以纵轴为坐标进行翻转，如图1-34所示。
图1-34 信号的翻转
5.时间平移
一个信号和它时移后的新信号在波形上完全相同，只是信号出现的时刻不同而已。
当t0＞0时，将原信号f（t）向右平移t0个单位即得到f（t-t0）。信号右移意味着时间上的滞后，也叫延迟。
当t0＜0时，将原信号f（t）向左平移t0 个单位即得到f（t-t0）。信号左移，表示时间上的超前。
以图1-34（a）中的函数f（t）为例，其经时间平移的波形如图1-35所示。
图1-35 信号的平移
6.尺度变换
将信号f（t）的时间变量t变为at，可得f（at）。
若时间轴保持不变，a＞1表示信号波形压缩；1＞a＞0表示波形扩展。如图1-36所示。
图1-36 信号的尺度变换
需要注意的是：对包含有冲激函数的连续信号进行尺度变换时，冲激函数的强度也将发生变化，如图1-37所示。
图1-37 包含有冲激函数的连续信号的尺度变换
信号f（at+b）（a≠0）的波形可通过对信号f（t）的平移、反转（若a＜0）和尺度变换获得。
如果把f（t）看成一盘录制好的声音磁带，则f（-t）表示将这盘磁带倒转播放产生的信号；f（2t）表示将这磁带以二倍的速度加快播放；2f（t）则表示将原磁带的音量放大一倍播放。
7.微分
对于普通的连续可导的函数，在此不做讨论。这里主要研究含有间断点的分段函数的导数。在普通函数的意义下，间断点处的导数是不存在的。但由于引进了奇异函数的概念，对含有第一类间断点的信号也可以进行微分。在间断点上的一阶微分是一个冲激，其强度为原始信号在该时刻的跃变增量；而在其他连续区间的微分就是常规意义上的导数。
下面通过具体的例子，来研究分段函数导数的求法。
例题1-1：已知f（t）如图1-38（a）所示，求其导数，并画出波形。
图1-38 例题1-1的图
解：f（t）是一个分段函数，可表示为
利用阶跃函数，将f（t）表示成闭合的形式，即
f（t）=2[u（t+2）-u（t）]+（t+2）[u（t）-u（t-2）]
对该式求微分，得
f′（t）=2[δ（t+2）-δ（t）]+（t+2）[δ（t）-δ（t-2）]+[u（t）-u（t-2）]=2δ（t+2）-4δ（t-2）+[u（t）-u（t-2）]
其波形如图1-38（b）所示。
由以上讨论可以看出，当信号含有第一类间断点时，其一阶导数将在间断点处出现冲激（当间断点处向上跳变时出现正冲激，向下突变时出现负冲激），冲激强度等于跳变的幅度。掌握了这些规则后，求分段函数的导数时，便可以直接通过观察写出其结果了。
8.积分
它是指曲线f（τ）在区间（-∞，t）内包围的面积，是t的连续函数，如图1-39所示。与微分恰好相反，在f（τ）的跳变点处，积分函数的值是连续的。而且尽管在某些区间内f（τ）=0，但是积分函数的值不一定为零。
例题1-2：已知f（t）波形如图1-39（a）所示，求其积分。
图1-39 f（t）的积分
解：令g（t）=f-1（t）。
① 当t＜-2时，f（t）=0，所以有
。
② 当-2＜t＜0时，f（t）=2，所以有
t t 。
③ 当0＜t＜2时，f（t）=t+2，所以有
t 0 t 
。
④ 当2＜t时，
因此，有
f-1（t）的波形如图1-39（b）所示。
与连续函数类似，离散信号也需要进行运算或变换，主要有以下几种。
（1）两序列的迭加和相乘
（2）序列的标乘
（3）移序
当m＞0时，将f（k）向右平移m个单位，可得f（k-m）；当m＜0时，将f（k）向左平移m 个单位，可得f（k-m）。
需要注意的是，由于序列只在整数时刻取值，所以m只能取整数。
（4）序列的尺度变换
若a＞1，表示将f（k）沿时间轴压缩；若1＞a＞0，表示将f（k）沿时间轴扩展。
需要注意的是：当离散信号压缩或扩展时，离散信号应只留下离散时间点上的值，要按规律去除某些点或者补足相应的零值。
（5）序列的差分
序列的一阶前向差分的定义为
序列的一阶后向差分的定义为
式中，Δ和 Δ称为差分算子。由上两式可见，前向差分与后向差分的关系为
Δf（k）=Δf（k-1）
关于差分的性质，在第3章中会有更详细的讲解。
下面通过一实例来说明离散信号的波形变换，如图1-40所示。
图1-40 离散信号的波形变换