2.2 杨氏干涉实验

1801年，杨氏首次利用分波前法实现了光的干涉，这就是著名的杨氏干涉实验。通过对这一实验的分析，可以了解分波前法干涉的一些共同的特点。杨氏实验装置如图2.3所示。S是一个受光源照明的小孔，从S发散出的光波射在光屏A的两个小孔S1 和S2 上，S1 和S2 相距很近，且到S等距，从S1 和S2 发散出的光波在距离光屏为D的屏幕E上叠加产生干涉，在E上我们将看到一些亮暗相间的干涉条纹。实际上，杨氏实验与上一节讨论的用一个小光源照明两个小孔的实验是一样的。

1. 干涉条纹的计算

为简化计算，假定光源发出的光波是单色的，即只有一个频率或一个波长。考察屏幕上某一点P，从S1 和S2 出发的两个相干光波在P点的干涉光强应为

式中，I1 和I2 分别是两光波单独在P点上产生的光强，δ是两光波在P点的位相差。若实验装置中S1 和S2 两个小孔大小相等，则有I1 =I2 =I0。再由于S1 和S2 到S等距，所以S1 和S2 处的光振动同位相，在P点两叠加光波的位相差就只来源于S1 和S2 到P点的路程差。设由S1和S2 到P点的距离分别为r1 和r2，那么两光波在P点的位相差为

式中，λ和λ0 分别为光波在所在介质和真空中的波长，n是介质的折射率。

将式（2.2-2）代入式（2.2-1），得到P点光强的表达式为

可见，P点的光强大小取决于S1 和S2 到P点的光程差。当光程差

时，P点光强有极大值I=4I0（相长干涉）；当光程差

时，P点光强有极小值I=0（相消干涉）；光程差为其他值时，P点光强介于0和4I0 之间。

就整个屏幕而言，满足式（2.2-4）的那些点，它们的光强有极大值；而满足式（2.2-5）的另一些点，它们的光强有极小值。其余的点的光强在极大值和极小值之间。

为了确定屏幕上极大强度和极小强度点的位置，选取直角坐标系Oxyz，坐标系的原点O位于光源S1 和S2 连线的中心，x轴的方向为S1 S2 连线的方向，如图2.4所示。设屏幕上任意点P的坐标为（x，y，D），那么S1 和S2 到P点的距离r1 和r2 可分别写为

式中，d是S1 和S2 之间的距离。由上面两式可得

或

杨氏实验的典型数据是d=0.02 cm，D=50 cm，x=1 cm，y=1 cm，即只在屏幕上z轴附近观察，并且d≪D。在这种情况下，可用2D代替r1 +r2，其误差不会太大。因此，式（2.2-6）可写为

由式（2.2-4），即得到屏幕上极大强度点的位置为（设杨氏实验设置在空气中，取n=1）

而由式（2.2-5），极小强度点的位置决定于条件

这表明屏幕上z轴附近的干涉条纹是一系列平行于y轴的等距的亮带和暗带，图2.5（a）是这些条纹的照片。在干涉条纹中，极大强度和极小强度之间是逐渐变化的。由式（2.2-3）和式（2.2-7），可以得到条纹的强度变化规律——强度分布公式

按照上式绘出的强度变化曲线如图2.5（b）所示。

干涉条纹可以用条纹的干涉级表征，其值等于D/λ。亮条纹中最亮点的干涉级为整数，暗条纹中最暗点的干涉级为半整数。实际上，常用整数代表亮条纹的干涉级，而用半整数代表暗条纹的干涉级。

2. 条纹间距

相邻两个亮条纹或两个暗条纹之间的距离称为条纹间距。由式（2.2-8）可得条纹间距为

r1 和r2 之间的夹角w（见图2.5）称为相干光束的会聚角；在d≪D，x，y≪D的情况下，w≈d/D，因此条纹间距又可以用会聚角表示为

即条纹间距与光束会聚角成反比。这是一个普遍的公式，对于任何的干涉实验，为了得到间距足够宽的条纹，都应使相干光束的会聚角尽可能小。

式（2.2-11）和式（2.2-12）都指明，条纹间距还与光波波长有关，波长较长的光，其条纹间距大。这样，如用白光光源做实验，屏幕上只有零级条纹（干涉级m=0，对应于x=0的位置）是白色的（所有色光都是相长干涉，组合在一起仍为白色），在零级白色条纹的两边各有一条黑色条纹，黑纹之外就是彩色条纹。一般可以看到几个彩色条纹。

杨氏实验属于测定光波波长的最早的一些方法之一。当用单色光源做实验时，只要测出实验装置的D、d和条纹间距，便可根据式（2.2-11）计算出光波的波长。

例题2.1 在杨氏干涉实验中，两小孔的距离为0.5 mm，观察屏幕离小孔的距离为1 m。当以氦氖激光束照射两小孔时，测量出屏幕上干涉条纹的间距为1.26 mm，计算氦氖激光波长。

解 已知d=0.5 mm，D=1 m，e=1.26 mm，代入式（2.2-11），得到光波波长

λ=ed/D=1.26 × 0.5/1000 mm=630 mm

更精确的测定光波波长的实验表明，氦氖激光的波长为632.8 nm。

例题2.2 两个长100 mm的抽成真空的气室置于杨氏装置中的两小孔前（图2.6），当以波长λ=589 nm的平行钠光通过气室垂直照明时，在屏幕上观察到一组稳定的干涉条纹。然后缓慢将某种气体注入气室C1，观察到条纹移动了50个，试讨论条纹移动的方向并求出注入气体的折射率。

解（1）由式（2.1-4）可以看出，两个相邻亮条纹的光程差之差为1个波长。假定图2.6中的P0 点和P点分别对应于零级和1级条纹位置，那么S2 P-S1 P=λ。当气室C1 注入某种气体时，通过C1 和S1 到达P的一支光路将增大光程，并且当光程增大1个波长时，P点变成对于两支光路是等光程的。因此，零级条纹将从原来的P0 点的位置移至P点，我们可以发现条纹向上移动1个条纹。本例给出条纹组的移动量为50个条纹，这表示上光路的光程增大了50个波长，条纹组移动方向应是向上的方向。

（2）气室C1 未注入气体时，平行钠光通过C1 和C2 到达S1 和S2 是等光程的。C1 注入气体后，钠光到S1 和S2 的光程差为

D=（ng-nv）× 100 mm

式中，ng为注入气体折射率，nv为真空折射率，nv =1。由于S1和S2引入了光程差D，屏幕上各点的光程差也相应地发生变化。题中给定条纹移动量为50个条纹，表示光程差的变化为

D=50λ

因此（ng-1）100=50 × 589 × 10 -6