变换定理

在17世纪中期，计算曲线之下的面积是一个热门话题，这也是莱布尼茨变换定理的主题。在图2-1中，假定我们要计算曲线AB下面的面积。莱布尼茨将这个区域的面积想象成是由无限多个无限小的矩形构成的。每个矩形的宽度为，长度为y，其中y随曲线AB的形状变化而改变。

在我们看来，莱布尼茨的的性质是不明确的。在17世纪，被看作是最小的可能长度，一个无限小的不可能再分的长度。但是怎么可能有这样的事情呢？很明显，任意长度，即使是刀刃一样薄的长度，也可以分为两半。莱布尼茨关于这一点的解释无助于概念的澄清，他对问题的说明是难以理解的。下面是莱布尼茨在1684年之后的一份手稿中的一段文字：

关于……无限小，我们理解为……某种无限的小，所以每次分割本身都成为一个级别，只不过不是一个最后的级别。如果有谁希望将这些[无限小]理解为最终的事物……，那么，这也是可以的，而且也不会陷入关于延伸范围或者一般而论的无限连续统或者无限小的真实性的争论中，即使他认为这样的事是完全不可能的。

读者不必寻找这种概念的澄清，更无需自己去澄清。莱布尼茨看来选择了逻辑上的权宜之计，他作出补充，即使这些不可分量的性质尚不确定，它们依然可以作为“用于计算的有力工具”。我们再次看到了令后来的分析学家们进退维谷的数学泥潭。但是在1673年，莱布尼茨急切地向前推进，将这个逻辑上的问题留给下一代人解决。

回到图2-1，我们看到无限小矩形的面积为。为计算曲线AB下面的面积，莱布尼茨对这无穷多个面积求和。他选用伸长的“S”——代表“summa”（求和）——作为表示这个过程的记号。因此，这个面积表示成。从此以后，他的积分符号成了微积分的“标志”，向所有见到它的人宣告高等数学来临了。

提出一个表示面积的记号是一回事，而掌握怎么计算面积完全是另一回事。莱布尼茨的变换定理就是以解决这个计算问题作为目标。

图2-2说明了他的思想，其中再次显示曲线AB，求它下面的面积是我们的目标。P是曲线上任意一点，其坐标为。莱布尼茨在P点画出切线t，与纵坐标轴相交于点T(0, z)。莱布尼茨解释这个构造时说明“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无限小的两个点”。令为x的无限小的增量，他建立一个无限小的直角三角形，以切线上的线段PQ为斜边，边长分别为,,的三角形放大后的图形显现在图2-3中。令α为切线的倾角。

莱布尼茨强调,“虽然这个三角形是不确定的（无限小），但是……总可能找到一个相似于它的确定的三角形”。当然，有人会疑惑一个无限小三角形怎么可能同任何东西相似，但是这不是纠缠于细枝末节的时候。莱布尼茨把图2-2中的看成与图2-3中的无限小三角形相似。于是有，求解得到

下一步，莱布尼茨向左延长切线PT，并且从原点引出同这条延长线垂直的长度为h的线段OW（见图2-2）。由于的值是α，可知的值为，所以的值也是α。这使得相似于无限小的那个三角形，于是得到另一个比例关系，我们由此推出

莱布尼茨然后画出从原点辐射出的，以无限小三角形的斜边PQ为底边。为避免使图2-2变得更为杂乱，我们将这个特别的三角形重新画在图2-4中。

到这一步读者也许会想，莱布尼茨已经随波逐流地迷失在毫无目标的三角形的汪洋大海之中。然而，事实上，这个无限小斜三角形OPQ却成为他的变换定理的核心。由于三角形的底边为，高为，由此看出它的面积为，由上面的式（2）可知，这个面积恰好是。

莱布尼茨画了无数个这样的无限小三角形，如图2-5所示，所有的三角形都是从原点辐射出来并终止于曲线AB。几年以后，莱布尼茨回忆起，他“偶然有机会用若干条通过同一点的直线将面积分成多个三角形，并且……察觉可以很容易从中获得某些结果”。

这种极透视三角形是非常关键的，因为莱布尼茨认识到图2-5中的楔形的面积就是那些无穷小三角形的面积之和，它们的面积的解析表达式已经在上面确定。就是说

面积（楔形）＝三角形面积之和＝ （3）

事实上，莱布尼茨的初衷并不是求这个楔形的面积。相反，他要寻求的是图2-1中曲线AB之下的面积，即。幸好，只需要简单地修修补补就可以将讨论中的两个面积联系起来。图2-6中的几何图形表明：

曲线AB下的面积＝面积(楔形)＋面积()－面积()

根据式（3），这个关系式从符号上等价于

这就是最终的变换定理。定理的名称表示原来的积分已经变换（或“转换”）成新积分与常数之和。如今，我们添加积分限（一个莱布尼茨没有用过的符号表示法）使得公式更称心如意，并且重写成

公式（5）由于至少以下两个原因而值得注意。

首先，“新的”对z的积分很可能比原来对y的积分更容易求值。如果是这样，z就在求原来的面积中扮演了一个辅助的角色。对17世纪的数学家来说，一种称为割圆曲线的曲线就扮演这样的角色，也就是说，割圆曲线是一个求面积的助推器。如果从公式（5）能够产生一个更简单的积分，那么，这整个冗长的推导过程将获得补偿。正如我们立刻就会看到的，这种情况恰好出现在莱布尼茨级数的推导过程中。

其次，公式（5）中的关系具有理论意义。回想一下，是曲线AB在点（x, y）处的切线在y轴的截距。因此z的值与切线的斜率有关，所以在这个复合的积分中注入了导数。这不禁使人意识到其中隐藏着重要的联系。

为更清楚地看到这一点，回想式（1），可得。代入式（4）得到

求解得。

再加入积分限，给出

在图2-7中，式（6）在几何上的正确性是显而易见的，因为是所有纵向条形区域的面积，而是所有横向条形区域的面积。这两部分面积的和显然是外围矩形和左下方小矩形面积之差。就是说，

整理后即得式（6）。

关于式（6）还要作一点说明：它看起来是大家熟悉的。这是理所当然的，因为它很容易地从著名的分部积分法公式

推出，只要在其中指定和。在这种条件下，，代入后就把分部积分公式转变成变换定理。莱布尼茨在使用无限小三角形、切线、相似三角形和楔形面积进行复杂推理以后，总之，在经过极其曲折的数学探索之旅以后，获得一个分部积分的实例，一位微积分的超级明星捷足先登，出人意料地走上舞台。

这是令人兴奋的，但是莱布尼茨并没有停下脚步。在把他的变换定理应用于一条著名的曲线后，莱布尼茨发现了一个一直以他的名字命名的无穷级数。