第二章　交流电路基础及应用

第一节　正弦交流电路基础

一、正弦交流电的产生

（1）正弦交流电的特点

第一章直流电路中所讨论的直流电，其电流（及电压、电磁势）的大小和方向是不随时间变化的。但是在生产实际中，除了应用直流电外，还广泛地应用交流电。所谓交流电是指电流（及电压、电动势）的大小和方向随时间的变化而变化。交变电流、交变电压和交变电动势统称为交流电。通常将交流电分为正弦交流电和非正弦交流电两大类。正弦交流电是指其交流量随时间按正弦规律变化。

人们经常用图形表示电流（及电压、电动势）随时间变化的规律，这种图形称为波形图，如图2-1所示。

图中横坐标表示时间，纵坐标表示不同时刻的交流量（电流、电压、电动势）值。从如图2-1（b）所示的波形图中可以看到，正弦交流电（如无特别说明都简称交流电）的特点如下。

①变化的瞬时性。正弦交流电的大小和方向时时刻刻都在变化。

②变化的周期性。正弦交流电每隔一定时间又作重复的变化。

③变化的规律性。正弦交流电是随着时间按正弦规律变化的。

正弦交流电在工农业生产以及日常生活中应用广泛，是由于它具有便于远距离传输和分配，交流发电机结构简单、运行可靠、维修方便、节省材料、具有更低的电磁干扰等优点。

（2）正弦交流电的产生

正弦交流电是由交流发电机产生的。如图2-2（a）所示是最简单的交流发电机示意图，它由定子和转子组成。定子有N，S两个固定磁极。转子是一个可以转动的钢质圆柱体，其上紧绕着一匝导线。导线两端分别接到两个相互绝缘的铜环上，铜环与连接外电路的电刷相接触。

当用原动机（如水轮机或汽轮机）拖动电枢转动时，由于运动导线切割磁感应线而在线圈中产生感应电动势。为了得到正弦波形的感应电动势，应采用特定形式的磁极，使磁极与电枢之间的空隙中的磁感应强度按下列规律分布。

第一，磁感应线垂直于电枢表面。

第二，磁感应强度B在电枢表面按正弦规律分布。

如图2-2（b）所示。在磁极中心位置处的磁感应强度最大，用Bm表示；在磁性分界面处的磁感应强度为零。磁感应强度等于零的平面叫作中性面，如图2-2（b）所示的OO'水平面。如线圈所在位置的平面与中性面成α角，此处电枢表面的磁感应强度为：

B=Bmsinα　　（2-1）

当电枢在磁场中从中性面开始，以匀角速度ω逆时针转动时，单匝线圈的a、b边在磁场内切割磁感应线产生感应电动势。单匝线圈中产生的磁感应电动势为：

e=2Blv=2Bmlvsinα　　（2-2）

如果线圈有N匝，则总的感应电动势为：

e=2NBmlvsinα　　（2-3）

当α=90°及α=270°时，感应电动势具有最大值，即：

Em=2NBmlv　　（2-4）

式中　Em——感应电动势最大值，V；

　N——线圈的匝数；

　Bm——最大磁感应强度，Wb/m2；

　l——线圈的有效长度，m；

　v——导线运动速度，m/s。

将式（2-4）代入式（2-3）后，得：

e=Emsinα　　（2-5）

因为电枢在磁场中以角速度ω做匀速转动，在任意时刻线圈平面与中性面的夹角α等于角速度ω与时间t的乘积，即：

α=ωt　　（2-6）

因此，感应电动势的数学式又可以写成：

e=Emsinωt　　（2-7）

这样就把感应电动势随角度变化转为随时间变化。为今后研究交流电正弦量提供了方便。同理，交流电压、交流电流可表示为：

 

　　（2-8）

二、正弦交流电的三要素

（1）周期、频率、角频率

由如图2-1所示中的正弦交流电流波形图可以看出，它从零开始随时间延长而增至最大值，然后逐渐减到零；以后由零开始反向增至最大值，然后再回到零。这样，交流电流就变化一次。交流电就按照这样的规律做周而复始的变化，变化一次叫作一周。交流电变化一周所需要的时间叫作周期，用字母T表示，单位是秒（s），较小的单位有毫秒（ms）和微秒（μs）。它们之间的关系为：

1s=103ms=106μs

周期的长短表示交流电变化的快慢一周期越小，说明交流电变化一周所需的时间越短，交流电的变化越快；反之，交流电的变化越慢。

频率是指在一秒钟内交流电变化的次数，用字母f表示，单位为赫兹；简称赫，用Hz表示。当频率很高时，可以使用千赫（kHz）、一兆赫（MHz）、吉赫（GHz）等。它们之间的关系为：

1kHz=103Hz
1MHz=103kHz
1GHz=103MHz

频率和周期一样，是反映交流电变化快慢的物理量。它们之间的关系为：

　　（2-9）

我国农业生产及日常生活中使用的交流电标准频率为50Hz。通常把50Hz的交流电称为工频交流电。

交流电变化的快慢除了用周期和频率表示外，还可以用角频率表示。所谓角频率就是交流电每秒钟变化的角度，用字母ω表示，单位是rad/s（弧度每秒）。

周期、频率和角频率的关系是：

　　 （2-10） 　　

（2）瞬时值、最大值、有效值

正弦交流电（简称交流电）的电动势、电压、电流，在任意瞬间的数值叫交流电的瞬时值，用字母E，U，I表示。

瞬时值中最大的值称为最大值。最大值也称为振幅或峰值。在波形图中，曲线的最高点对应的纵轴值，即表示最大值。用Em，Um，Im分别表示电动势、电压、电流的最大值。它们之间的关系为：

　　 （2-11） 　　

由式（2-11）可知，交流电的大小和方向是随时间变化的，瞬时值在零值与最大值之间变化，没有固定的数值。因此，不能随意用一个瞬时值来反映交流电的做功能力。如果选用最大值，就夸大了交流电的做功能力，因为交流电在绝大部分时间内都比最大值要小。这就需要选用一个数值，能等效地反映交流电做功的能力。为此，引入了交流电的有效值这一概念。

正弦交流电的有效值是这样定义的：如果一个交流电通过一个电阻，在一个周期内所产生的热量，和某一直流电流在相同时间内通过同一电阻产生的热量相等，那么，这个直流电的电流值就称为交流电的有效值。正弦交流电的电动势。电压、电流的有效值分别用字母E，U，I表示。通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小都是指它的有效值，交流电气设备铭牌上标注的额定值、交流电仪表所指示的数值也都是有效值。今后在谈到交流电的数值时，如无特殊注明，都是指有效值。

理论计算和实验测试都可以证明，它们之间的关系为：

　（2-12）

（3）相位、初相和相位差

在如图2-3所示中，两个相同的线圈固定在同一个旋转轴上，它们相互垂直，以角速度叫逆时针旋转。在AX和BY线圈中产生的感应电动势分别为E1和E2，如图2-4所示。

当t=0时，AX线圈平面与中性面之间的夹角φ1=0°，BY线圈平面与中性面之间的夹角φ2=90°。在任意时刻两个线圈的感应电动势分别为：

E1=Emsin（ωt+φ1）

E2=Emsin（ωt+φ2）　　（2-13）

式中，ωt+φ1和ωt+φ2是表示交流电变化进程的一个角度，称为交流电的相位或相角，它决定了交流电在某一瞬时所处的状态。t=0时的相位叫初相位或初相。它是交流电在计时起始时刻的电角度，反映了交流电的初始值。例如，AX，BY线圈的初相分别是φ1=0°，φ2=90°。在t=0时，两个线圈的电动势分别为E1=0，E2=Em。两个频率相同的交流电的相位之差叫相位差。令上述E1的初相位φ1=0°，E2的初相位φ2=90°，则两个电动势的相位差为：

Δφ=（ωt+φ2）-（ωt+φ1）=φ2-φ1　　（2-14）

可见，相位差就是两个电动势的初相差。

从如图2-5所示可以看到，初相分别为φ1和φ2的频率相同的两个电动势的同向最大值，不能在同一时刻出现。就是说E2比E1超前φ角度达到最大值，或者说E1比E2滞后φ角度达到最大值。

综上所述，一个交流电变化的快慢用频率表示；其变化的幅度，用最大值表示；其变化的起点用初相表示。如果交流电的频率、最大值、初相确定后，就可以准确确定交流电随时间变化的情况。因此，频率、最大值和初相称为交流电的三要素。

例题1　已知两正弦电E1=100sin（100πt+60°）V，E2=65sin（100πt+30°）V，求各电动势的最大值、频率、周期、相位、初相及相位差。

解：

①振幅　　　　　　　　　　　　　Em1=100V　　Em2=65V

②频率　　　　　　　　　　　　

③周期　　　　　　　　　　　　

④相位　　　　　　　　　　　　　　　φ1=100πt+60°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　φ2=100πt+30°

⑤初相　　　　　　　　　　　　　　　　　φ1=60°
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　φ2=30°

⑥相位差　　　　　　　　　　　　Δφ=φ1-φ2=60°-30°=30°

三、正弦交流电的表示法

正弦交流电的表示方法有三角函数式法和正弦曲线法两种。它们能真实地反映正弦交流电的瞬时值随时间的变化规律，同时也能完整地反映出交流电的三要素。

（1）三角函数式法

正弦交流电的电动势、电压、电流的三角函数式为：

E=Emsin（ωt+φE）

U=Umsin（ωt+φU）

I=Imsin（ωt+φI）

若知道了交流电的频率、最大值和初相，就能写出三角函数式，用它可以求出任一时刻的瞬时值。

例题2　已知正弦交流电的频率f=50Hz，最大值Um=310V，初相ϕ=30°。求t=1/300s时的电压瞬时值。

解：

电压的三角函数标准式为

U=Umsin（ωt+φU）=Umsin（2πft+φU）

则其电压瞬时值表达式为

U=310sin（100πt+30°）

将t=0.01s代入上式

（2）正弦曲线法-波形法

正弦曲线法就是利用三角函数式相对应的正弦曲线，来表示正弦交流电的方法。

在如图2-6所示中，横坐标表示时间t或者角度ωt，纵坐标表示随时间变化的电动势瞬时值。图中正弦曲线反映出正弦交流电的初相ϕ=0。E最大值Em，周期T以及任一时刻的电动势瞬时值。这种图也叫作波形图。

四、单相交流电路

在直流电路中，电路的参数只有电阻R。而在交流电路中，电路的参数除了电阻R以外，还有电感L和电容C。它们不仅对电流有影响，而且还影响了电压与电流的相位关系。因此，研究交流电路时，在确定电路中数量关系的同时，必须考虑电流与电压的相位关系，这是交流电路与直流电路的主要区别。本节只简单介绍纯电阻、纯电感、纯电容电路。

（1）纯电阻电路

纯电阻电路是只有电阻而没有电感、电容的交流电路。如白炽灯、电烙铁、电阻炉组成的交流电路都可以近似看成是纯电阻电路，如图2-7所示。在这种电路中对电流起阻碍作用的主要是负载电阻。

加在电阻两端的正弦交流电压为U，在电路中产生了交流电流I，在纯电阻电路中，电压和电流瞬时值之间的关系，符合欧姆定律，即：

I=U/R　　（2-15）

由于电阻值不随时间变化，则电流与电压的变化是一致的。就是说，电压为最大值时，电流也同时达到最大值；电压变化到零时，电流也变化到零。如图2-8所示。纯电阻电路中，电流与电压的这种关系称为“同相”。

通过电阻的电流有效值为：

I=U/R　　（2-16）

公式（2-16）是纯电阻电路的有效值。在纯电阻电路中，电流通过电阻所做的功与直流电路的计算方法相同，即：

P=UI=I2R=U2R　　（2-17）

（2）纯电感电路

纯电感电路是只有电感，而没有电阻和电容的电路。如由电阻很小的电感线圈组成的交流电路，都可近似看成是纯电感电路，如图2-9所示。

在如图2-9所示的纯电感电路中；如果线圈两端加上正弦交流电压，则通过线圈的电流I也要按正弦规律变化。由于线圈中电流发生变化，在线圈中就产生自感电动势，它必然阻碍线圈电流变化。经过理论分析证明，由于线圈中自感电动势的存在，使电流达到最大值的时间，要比电压滞后90°，即四分之一周期。也就是说，在纯电感电路中，虽然电压和电流都按正弦规律变化，但两者不是同相的，如图2-10所示，正弦电流比线圈两端正弦电压滞后90°，或者说，电压超前电流90°。

理论证明，纯电感电路中线圈端电压的有效值U，与线圈通过电流的有效值之间的关系是：

I=U/ωL=U/XL　　（2-18）

ωL是电感线圈对角频率为ω的交流电所呈现的阻力，称为感抗，用XL表示，即：

XL=ωL=2πfL　　（2-19）

式中　XL——感抗，Ω；

　f——频率，Hz；

　L——电感，H。

感抗是用来表示电感线圈对交流电阻碍作用的物理量。感抗的大小，取决于通过线圈电流的频率和线圈的电感量。对于具有某一电感量的线圈而言，频率越高，感抗越大，通过的电流越小；反之，感抗越小，通过的电流越大。收音机中的高频扼流圈不让高频电流通过，只让低频电流通过，就是这个道理。在直流电路中，由于频率为零，故线圈的感抗也为零，线圈的电阻很小，可以把线圈看成是短路的。

例题3　有一电感为0.1mH的线圈，分别接在电压U=0.1V，频率为f1=1000Hz，f2=1MHz的两个交流电源上。求两种情况下通过线圈的电流。

解：

当f1=1000Hz时，感抗为：

XL1=2πfL=2×3.14×1000×0.1×10-3=0.628Ω

I=U/XL1=0.1/0.628=0.159A=159mA

当f2=1MHz时，感抗为：

XL2=2πfL=2×3.14×106×0.1×10-3=628Ω

I=U/XL2=0.1/628=0.000159A=159μA

结论：同一个电源电压、同一个电感，交流电频率差1000倍，XL差1000倍，电流差1000倍。

（3）纯电容电路

电容器是由两个金属板中间隔着不同的介质（云母、绝缘纸等）组成的。它是存放电荷的容器。电容器中的两个金属板叫电容器两个极板。如果把电容器的两个极板分别与直流电路两端连接，如图2-11所示，则两极板间有电压，在极板间建立了电场。

在电场力作用下，驱使自由电子运动，使两个极板分别带上数量相等符号相反的电荷。与电源正极相连的极板带正电荷，与电源负极相连的极板带负电荷。实验证明，极板上存有电荷Q越多，则极板间的电压U越高，二者成正比。因此，将电容器的电量Q与极板间电压的比值叫作电容器的电容量，简称电容，用字母C表示，即：

　　 （2-20） 　　

式中　Q——下任意极板上的电量，C；

　U——两极板间的电压，V；

　C——电容量，F。

当电容器极板间电压为1V，极板上电量为1C，则电容器的电容量为1F。在实际应用中，由于法拉单位过大，所以经常使用微法（μA）和皮法（pF）为电容的单位，它们之间的关系为：

1μF=10-6F

1pF=10-6μF=10-12F

常用的电容器符号如图2-12所示。

电容器在电工和电子技术中应用广泛。如在电力系统中用它改善系统的功率因数，在电子技术中用它进行滤波、耦合、隔直、旁路、选频等。在这里只简单介绍电容在交流电路的作用。

纯电容电路是只有电容而没有电阻、电感的电路。如电介质损耗很小，绝缘电阻很大的电容器组成的交流电路。可近似看成纯电容电路。

在如图2-13所示的纯电容电路中，电容器接上交流电源。在电压升高的过程中，电容器充电，在电压降低的过程中，电容器放电。由于电容器端电压按正弦规律变化，致使电容器不断地进行充电、放电。于是在电路中形成按正弦规律变化的电流。理论分析证明：电路中电流达到同方向最大值的时间，比电容器的端电压超前90°，即提前四分之一周期。也就是说，在纯电容电路中，虽然电流与电压都按正弦规律变化；但两者的相位不同，如图2-14所示，纯电容电路中的电流超前电压90°。

理论证明：在纯电容电路中，电容两端电压的有效值U与电路电流有效值I之间的关系是：

　　 （2-21） 　　

1/ωC是电容对角频率为ω的交流电所呈现的阻力，称为容抗，用XC表示，即：

XC=1/ωC=1/2πfC　　（2-22）

容抗是用来表示电容器对电流阻碍作用大小的一个物理量，单位是欧，用Ω表示。容抗的大小与频率及电容量成反比。当电容器的容量一定时，频率越高，容抗越小，电流越大；反之，频率越低，容抗越大，电流越小。在直流电路中，由于电流电频率为零，因此，容抗为无限大。这表明，电容器在直流电路中相当于开路。但在交流电路中，随着电流频率的增加，容抗逐渐减小。因此，电容器在交流电路中相当于通路。这就是电容器隔断直流，通过交流的原理。

例题4　有一个电容器的电容C=0.159μF，试求它在频率为50Hz和1MHz时的容抗。如果电源电压为100V，求在频率为50Hz和1MHz时的电流。

解：

当f1=50Hz时，

当f2=1MHz时，

五、三相交流电路

在单相交流电路的电源电路上有两根输出线，而且电源只有—个交变电动势。如果在交流电路中三个电动势同时作用，每个电动势大小相等，频率相同，但初相不同，则称这种电路为三相制交流电路。其中，每个电路称为三相制电路的一相。

三相制电路应用广泛，其电源是三相发电机。和单相交流电相比，三相交流电具有以下优点。

①三相发电机比尺寸相同的单相发电机输出的功率大。

②三相发电机的结构和制造与单相发电机相比，并不复杂，使用方便，维修简单，运转时振动也很小。

③在条件相同、输送功率相同的情况下，三相输电线比单相输电线可节约25%左右的线材。

（1）三相电动势的产生

三相交流电是由三相发电机产生的，如图2-15所示是三相发电机的结构示意图。它由定子和转子组成。在定子上嵌入三个绕组，每个绕组叫一相，合称三相绕组。绕组的一端分别用U1，V1，W1表示，叫作绕组的始端，另一端分别用U2，V2，W2表示，叫绕组的末端。三相绕组始端或末端之间的空间角为120°。转子为电磁铁，磁感应强度沿转子表面按正弦规律分布。

当转子以匀角速度ω逆时针方向旋转时，在三相绕组中分别感应出振幅相等，频率相同，相位互差120°的三个感应电动势，这三相电动势称为对称三相电动势。三个绕组中的电动势分别为：

EU=Emsin（ωt）

EV=Emsin（ωt-120°）

EW=Emsin（ωt+120°）

显而易见，V相绕组的EV比U相绕组的EU落后120°，W相绕组的EW比V相绕组的EV落后120°。

如图2-16所示是三相电动势波形图。由图可见三相电动势的最大值。角频率相等，相位差120°。电动势的方向是从末端指向始端，即U2到U1，V2到V1，W2到W1。

在实际工作中经常提到三相交流电的相序问题，所谓相序就是指三相电动势达到同向最大值的先后顺序。在图中，最先达到最大值的是EU，其次是EV，最后是EW；它们的相序是U—V—W，该相序称为正相序，反之，是负序或逆序，即W—V—U。通常三相对称电动势的相序都是指正相序，用黄、绿、红三种颜色分别表示U、V、W三相。

（2）三相电源绕组的联结

三相发电机的每相绕组都是独立的电源，均可以采用如图2-17所示的方式向负载供电。这是三个独立的单相电路，构成三相六线制，有六根输电线，既不经济，又没有实用价值。在现代供电系统中，发电机三相绕组通常用星形联结或三角形联结两种方式。但是，发电机绕组一般不采用三角形接法，而采用星形接法。因此，这里只介绍星形接法。

将发电机三相绕组的末端U2，V2，W2连在一起，成为一个公共点，再将三相绕组的始端U1，V1，W1引出，接负载的三根输电线。这种接法称为星形接法或Y形接法，如图2-18所示。公共点称作电源中点，用字母N表示。从始端引出的三根输电线叫作相线或端线，俗称火线。从电源中点N引出的线叫作中线。中线通常与大地相连接，因此，把接地的中点叫零点，把接地的中线叫零线。

如果从电源引出四根导线，这种供电方式叫星接三相四线制；如果不从电源中点引出中线，这种供电方式叫星接三相三线制。

电源相线与中线之间的电压叫作相电压，在如图2-17所示中用UU，UV，UW表示，电压方向是由始端指向中点。

电源相线之间的电压叫作线电压，分别用UUV，UVW，UWU表示。电压的正方向分别是从端点U1到V1，V1到W1，W1到U1。

三相对称电源的相电压相等，线电压也相等，则相电压UP与线电压UP之间的关系为：

　　 （2-23） 　　

公式（2-23）表明三相对称电源星形联结时，线电压的有效值等于相电压有效值的1.7倍。

（3）三相交流电路负载的联结

在三相交流电路中，负载由三部分组成，其中，每两部分称为一相负载。如果各相负载相同，则叫作对称三相负载；如果各相负载不同，则叫作不对称三相负载。例如，三相电动机是对称三相负载，日常照明电路是不对称三相负载。根据实际需要，三相负载有两种连接方式，星形（Y形）联结和三角形（△形）联结。

①负载的星形联结。设有三组负载ZU，ZV，ZW，若将每组负载的一端分别接在电源三根相线上，另一端都接在电源的中线上，如图2-19所示，这种连接方式叫作三相负载的星形联结。图中ZU，ZV，ZW为各相负载的阻抗，N为负载的中性点。

由图可见，负载两端的电压称为相电压。如果忽略输电线上的压降，则负载的相电压等于电源的相电压；三相负载的线电压就是电源的线电压。负载相电压U相与线电压U线间的关系为：

　　 （2-24） 　　

星接三相负载接上电源后，就有电流流过相线、负载和中线。流过相线的电流IU，IV，IW叫作线电流，统一用I线表示。流过每相负载的电流IU，IV，IW叫作相电流，统一用I相表示。流过中线的电流IN叫作中线电流。

如图2-19所示中的三相负载各不相同（负载不对称）时，中线电流不为零，应当采取三相四线制。如果三相负载相同（负载对称）时，流过中线的电流等于零，此时可以省略中线。如图2-20所示是三相对称负载星形联结的电路图。可见去掉中线后，电源只需三根相线就能完成电能输送，这就是三相三线制。

三相对称负载呈星形联结时，线电流IW等于相电流IP，即：

IWY=IPY　　（2-25）

在工业上，三相三线制和三相四线制应用广泛。对于三相对称负载（如三相异步电动机）应采用三相三线制，对于三相不对称的负载，如图2-21所示的照明线路，应采用三相四线制。

值得注意的是，采用三相四线制时，中线的作用是使各相的相电压保持对称。因此，在中线上不允许接熔断器，更不能拆除中线。

②负载的三角形联结。设有三相对称负载，将它们分别接在三相电源两相线之间，如图2-22所示，这种连接方式叫作负载的三角形联结。

负载呈三角形联结时，负载的相电压UP就是电源的线电压UW，即：

UPA=UWA　　（2-26）

当对称负载呈三角形联结时，电源线上的线电流IW有效值与负载上相电流IP有效值有如下的关系：

　　 （2-27） 　　

分析了三相负载的两种联结方式后，可以知道，负载呈三角形联结时的相电压是其呈星形联结时的相电压的1.7倍。因此，当三相负载接到电源时，究竟是采用星形联结还是三角形联结，应根据三相负载的额定电压而定。