4.2 典型回转薄壳结构应力分析
本节将应用薄膜理论对典型回转薄壳结构进行应力分析，为开展压力容器筒体及封头的强度设计做准备。
4.2.1 受气体内压作用的筒形薄壳
【例4-1】 如图4-7为一承受内压p的圆筒形薄壳。已知壳体平均直径为D，壁厚为δ，求圆筒上任意一点A处的经向应力σm和环向应力σθ。
图4-7 承受内压的圆筒形容器
【例题解答】
根据区域平衡方程式（4-1）：
式中，R2为第二曲率半径，其确定方式如下：自A点做圆筒经线（本题为直线）的垂线交轴线于O点，则R2=OA。由图4-7知：
代入得：
（4-3）
根据微体平衡方程式（4-2）：
式中，p、δ为已知量，σm、R2前面已求得。R1为壳体经线在所求应力点的第一曲率半径。对圆筒体，经线为直径，故：
R1→∞
代入，得：
（4-4）
【结果分析及点评】
①求解经向应力σm、环向应力σθ的关键是确定所求应力点的第二曲率半径R2和第一曲率半径R1。
②圆筒形壳体承受内压时，其环向应力σθ是经向应力σm的2倍。
③圆筒形壳体承受内压时，壳体经向应力、环向应力均与圆筒的δ/D成反比。δ/D的大小体现了圆筒承压能力的高低。也就是说，衡量圆筒的承压能力，不能仅看壁厚δ。
④薄壁圆筒压力容器的壁面可简化为如图4-7所示的筒形薄壳，其应力可依据公式（4-3）、公式（4-4）计算。
4.2.2 受气体内压作用的球形薄壳
【例4-2】 如图4-8为一承受内压p的球形壳体。已知其平均直径为D，厚度为δ，内压为p，求球壳中任意一点A处的应力。
图4-8 承受内压的球形壳体
【例题解答】
由图4-8可知，对于球壳，其曲面在任意点A处的第一曲率半径R1与第二曲率半径R2均等于球壳的半径R，即：
将其代入区域平衡方程式（4-1）、微体平衡方程式（4-2）可得：
（4-5）
【结果分析及点评】
①求解经向应力σm、环向应力σθ的关键是确定所求应力点的第二曲率半径R2和第一曲率半径R1。
②对于球壳，任意点处的经向应力与环向应力均相等。
③将球壳的环向应力与圆筒壳的环向应力对比可发现，承受相同的内压p，球壳的环向应力是同直径D、同厚度δ的圆筒壳环向应力的1/2。这说明球壳的承压能力高于圆筒壳。这是球壳显著的优点。
④球状薄壁压力容器、圆筒形薄壁压力容器的半球形封头均可简化为球形薄壳，其应力可依据公式（4-5）计算。
4.2.3 受气体内压作用的椭球薄壳
【例4-3】 如图4-9所示为一承受内压p的椭球形壳体中面。已知其长轴半长为a，短轴半长为b，厚度为δ，求椭圆球壳任意一点A处的应力。
图4-9 承受内压的椭球形壳体
【例题解答】
椭球壳体是由四分之一椭圆曲线绕回转轴旋转而成。首先确定任意点A处的第一曲率半径R1和第二曲率半径R2。
（1）第一曲率半径R1
R1为壳体经线的平面曲率半径，若经线的曲线方程为y=y（x），则
壳体的经线为椭圆，其曲线方程为：
由此得：
代入可得：
（2）第二曲率半径R2
采用作图法求解R2。如图4-10所示，自任意点A（x，y）做经线的垂线，交回转轴于O点，则OA即为R2。根据几何关系，得：
因为
y'=tanθ
所以：
故：
将
代入：
再将
代入：
图4-10 承受内压的椭球壳体应力分析
（3）应力计算
将R1、R2分别代入区域平衡方程式（4-1）、微体平衡方程式（4-2），得：
（4-6）
（4-7）
【结果分析及点评】
①求解经向应力σm、环向应力σθ的关键是确定所求应力点的第二曲率半径R2和第一曲率半径R1。
②不同于筒形薄壳和球形薄壳，椭球壳上经向应力σm和环向应力σθ的数值与位置x有关。
③椭球壳不同位置处的经向应力σm恒为正值，即拉应力。最大值位于x=0处，最小值位于x=a处，如图4-11所示。
图4-11 椭球壳上经向应力分布
④椭球壳特殊位置处的应力如下：
⟡ 在x=0即椭球壳的中心处，经向应力σm和环向应力σθ相等。
⟡ 在x=0处，环向应力σθ>0；在x=a处，有三种情况，如图4-12所示：
•2-a2/b2>0时，即a/b<
时，σθ>0（拉应力）；
•2-a2/b2=0时，即a/b=时，σθ=0；
•2-a2/b2<0时，即a/b>时，σθ<0（压应力）。
上述情况说明a/b越大，即封头成型越浅，在x=a处的压应力越大。
图4-12 椭球壳体环向应力分布
⑤当a/b=2时，为标准型式的椭球壳，应力分布如图4-13所示。
在x=0处：
（4-8）
在x=a处：
（4-9）
（4-10）
图4-13 标准椭球壳应力分布
⑥圆筒形薄壁压力容器的椭圆形封头，可简化为椭球薄壳，其应力可依据式（4-6）、式（4-7）计算。椭圆封头尤其是标准椭圆形封头是应用最为广泛的一种压力容器封头，其受力较好，制造加工方便。
4.2.4 实际应用举例
【例4-4】 一外径为Do=267mm的压缩气体气瓶，壁厚为δ=7.5mm，材质为30CrMo，最大工作压力为20MPa，试求该气瓶筒壁内的应力。
【例题解答】 气瓶筒体的平均直径D=Do-δ=267-7.5=259.5mm
经向应力：
环向应力：
【例4-5】 一圆筒形容器，两端为椭圆形封头，如图4-14所示。已知圆筒平均直径D=2020 mm，壁厚δ=20mm，工作压力p=2MPa。
（1）求筒身上的经向应力和环向应力。
（2）如果椭圆形封头的a/b分别为2、、3，封头厚度为20mm，分别确定封头上最大经向应力与环向应力以及最大应力所在的位置。
图4-14 圆筒形容器示意图
【例题解答】 （1）求筒身应力
经向应力：
；
环向应力：
；
（2）求封头应力
①当a/b=2时，a=1010mm，b=505mm
在x=0处
在x=a处
应力分布如图4-15（a）所示，其最大应力有两处：一处在椭圆形封头的顶点，即x=0处；一处在椭圆形封头的底边，即x=a处。
②当
时，a=1010mm，b=714mm
在x=0处
在x=a处
最大应力在x=0处，应力分布如图4-15（b）所示。
③当a/b=3时，a=1010mm，b≈337mm
在x=0处
在x=a处
最大应力在x=a处，应力分布如图4-15（c）所示。
图4-15 椭圆封头应力分布