1.2.3 数据的表示与数制
1.二进制数据的表示
二进制具有物理实现性价比高、运算法则简单，容易存储等优点。计算机如何在物理上表示二进制呢？主要的方法还是采用电信号表示，高电压表示1，低电压表示0，如图1-24所示。
图1-24 二进制方波表示
2.数制
数制不仅是计算机出现时才有的，实际上中国除了使用十进制外，还有十六进制，1949年以前使用的称量衡器，就是十六两等于一斤，所以才有“半斤八两”这个成语。在时间上采用的是60进制，60秒等于1分钟。这些进制的产生有着其历史和客观的原因，有些已经形成习惯。
由于计算机内部采用的是二进制编码，但计算机与外部的信息交流依然采用大家所熟悉和习惯的形式，通常采用十进制数据来表示数值。这样计算机和人之间就必须要通过“翻译”。二进制和十进制之间的“翻译”是需要损耗系统资源的，尤其是时间的代价。下面介绍几个概念：
数制：按进位的方法进行计数，称为进位计数制，简称数制。如果某个数制采用R个基本符号，则称其为基R数制，R称为数制的基数。不同的数制在基数规则、进位规则、位权规则和运算规则等方面也不相同。
基数：是指某种数制中可能用到的计数符号的个数。如十进制数有0～9十个基数。
位权：不同位数上的计数符号所表示的数值大小是不同的，它的实际数值是计数符号乘以某一固定的常数，这个常数称为位权，简称权。如25=2×101+5×100，101和00
分别为对应位的位权。
进位：如十进制数是逢十进一，二进制数是逢二进一，等等。
任何一种进位制都可以用下面的规则来描述：基数规则、进位规则、位权规则、运算规则。常用的数制有十进制、二进制、八进制、十六进制。它们的特点如表1-2所示。
表1-2 四种数制的特点比较
例如，（256.15）D=2×102+5×101+6×100+1×10-1+5×10-2
（1101）B=1×23+1×22+0×21+1×20
3.数制之间的转换
在计算机内部的运算采用二进制数，但人们的习惯是十进制数，为了方便，在输入和输出采用十进制数，由计算机完成二进制与十进制之间的转换。这就需要了解不同数制间的转换问题。表1-3所示为常用计数制数之间的对应关系。
表1-3 常用计数制数之间的对应关系
（1）R进制转换为十进制
方法：按权展开求和
基数为R的数值，只需将各位数字与相应的权值相乘，再将其积相加后，各数就是对应的十进制值。
【例1】二进制转换为十进制。
（110101.0101）B=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2+0×2-3+1×2-4
=（53.3125）D
【例2】八进制转换为十进制：
（3506.2）O=3×83+5×82+0×81+6×80+2×8-1=（1862.25）D
【例3】十六进制转换为十进制。
（71.E）H=7×161+1×160+E×16-1=（113.875）D
各种数制转换成十进制的方法：按权展开。
（2）十进制转换为R进制
将十进制转换为基数为R的数制时，将其整数部分和小数部分分别加以转换，然后再合并起来即可。
十进制整数部分转换为基数为R的数制的转换方法为：“除R取余”；十进制小数部分转换为基数为R的数制转换方法为：“乘R取整”。
当对十进制小数部分连续地乘以R时，若小数部分最后乘至为零，则转换结束；小数部分也可能永远不能乘至为零，则达到所要求的精度即可。
【例4】将（215.3125）D转换为二进制数。
得到：（215）D=（11010111）D。
得到：（0.3125）D=（0.0101）B
将整数部分和小数部分合并在一起，得到：（215.3125）D=（11010111.0101）B。
【例5】将十进制数（125.275）D转换成十六进制数。
方法：整数部分除16取余法，小数部分乘16取整法。
所以，（125.275）D=（7D.46）H。
（3）二进制、八进制、十六进制的相互转换
二进制、八进制、十六进制之间的相互转换在实际应用中是需要加以掌握的。例如，计算机中的许多设备参数设置值往往是用十六进制表示的，用户便需要对其加以转换才容易理解。
由于二、八、十六进制三种数制的权值有以下的内在联系：23=8，24=16，也就是说3位二进制相当于1位的八进制数，4位二进制数相当于1位16进制数，因而它们之间的转换便较容易实现。首先我们需要掌握表1-4中所列的各类进制数中基数值的相互对应关系。
二进制、八进制的相互转换：
①八进制转换为二进制：每位八进制数对应于三位二进制数。
②二进制转换为八进制：对二进制整数部分从低位向高位分组，每三位一组；小数部分从高位向低位分组，每三位一组，不足补零。然后写出每组对应的八进制基数即可。
【例6】八进制数化为二进制数：（7123.63）O=（？）B
【例7】二进制数化为八进制数：（1101101110）B=（？）O
二进制转换为八进制的过程是相似的，也就是上例的逆向过程。
八进制、十六进制的相互转换：
①十六进制转换为二进制：每位十六进制数对应于四位二进制数；
②二进制转换为十六进制：对二进制整数部分从低位向高位分组，每四位一组；小数部分从高位向低位分组，每四位一组，不足补零。然后写出每组对应的十六进制基数即可。
【例8】十六进制数转换为二进制数：（2C1D）H=（？）B
【例9】二进制数转换为十六进制数：（1101101110）B=（？）H
