第一章 算术
第一节 整数
一、整数的概念
1.整数
所有数(不包括分数和小数)以及它们的负数(也包括0)，如：
…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…
其中以下是负整数：
-3，-2，-1
以下是正整数：
1，2，3
整数0既不是正整数也不是负整数
2.自然数
大于0的正整数，如：
1，2，3，…
其中1为最小的自然数
3.奇数
不能被2所整除的整数，如：
1，-1，3，-2，…
4.偶数
能够被2所整除的整数，如：
0，2，-2，4，-4，…
5.因数
一个数的因数就是可以完全整除该数的正整数——也就是说，若A和B都是非零整数，A÷B的结果是无余数的整数，那么，B就是A的因数
6.公因数和最大公因数
公因数是两个或者多个数字共有的因数， 如：
3为12和18的公因数
两个或者多个数的最大的公因数称为它们的最大公因数(greatest common factor ,GCF)，如：
6为12和18的最大公因数
7.倍数
任意一个已知数的倍数就是这些数除以这个已知数没有余数的数。当整数a能被另一个整数b所整除时，a叫做b的倍数，b叫做a的因数
8.公倍数和最小公倍数
如果一个数同时是几个数的倍数，则称这个数为它们的公倍数，如：
48和96都是8和12的公倍数
两个或者多个数的最小的倍数称为它们的最小公倍数(least common multiple,LCM)，如：
24为8和12的最小公倍数
9.质数
除了1和它本身以外，不能被其他的正整数所整除的自然数，如：
2，3，5，7，11，…
其中2是最小的质数
10.合数
除了1和它本身以外，还有其他因子的自然数，如：
4，6，8，9，10，…
其中4是最小的合数
11.质因数
质因数是为质数的因数。一个数的质因数不能再分解为因数，即没有约数，如：
24的质因数为2和3。24＝2×2×2×3
12.完全平方数
若一个整数开平方后还是整数，则这个数被称为完全平方数，如：
4，9，16，25，…
完全平方数均为自然数
13.商和余数
当一个正整数除以另一个正整数的商不为整数时就存在商和余数的问题。余数和商为大于或者等于0的整数，余数总是小于除数。如：
15除以7，商为2，余数为1
14.连续整数
整数按顺序排列，两个相邻整数之间的差为1，这样排列的整数就是连续整数。下面是连续整数的三个例子：
－1，0，1，2，3
1001，1002，1003，1004
－14，－13，－12，－11
连续整数可以表示为以下形式：
狀，狀＋1，狀＋2，狀＋3，…，其中狀为任意整数
二、整数的性质
1.奇偶性
（1）狀为整数，则2狀为偶数，2狀＋1为奇数
（2）奇数个奇数相加减，结果为奇数
（3）偶数个奇数相加减，结果为偶数
（4）奇数和偶数相加减，结果为奇数
（5）任意多个偶数相加减，结果为偶数
（6）若狀（狀为大于1的自然数）个整数连乘其结果为奇数，则这狀个整数必然都是奇数
（7）若狀（狀为大于1的自然数）个整数连乘其结果为偶数，则这狀个整数中至少有一个为偶数
（8）若狀（狀为大于1的自然数）个连续整数相加等于0，则狀必为奇数
（9）若狀（狀为大于1的自然数）个连续奇数相加等于0，则狀必为偶数
（10）若狀（狀为大于1的自然数）个连续偶数相加等于0，则狀必为奇数
（11）自然数间相加减或相乘必然还是自然数
（12）自然数间相减必然为整数（可正可负）
（13）奇数个连续整数的算术平均值等于该奇数个数中中间大小那个数的值
（14）偶数个连续整数的算术平均值等于该偶数个数中间两个数的算术平均值
（15）任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和
2.因数和倍数
（1）如果整数犪能被犫整除，则犪能被犫的因数（或约数）所整除
（2）如果犪为质数，狀为非负整数（non-negative integers or whole numbers），则犪狀的因数为狀＋1个（包括1和犪狀）
（3）0为任何一个非0整数的倍数，1为任何一个整数的约数，任何一个质数有且只有1和它本身这两个约数
（4）最小公倍数的求解步骤
■ 所有的数分别表示为各自的质因数的乘积
■ 如果所有的乘积中有公因数，则将式子中相同的质因子都提出来，且只保留幂指数较大的一个因子作为公因数，除去其他乘积中幂指数较小的公因数
■ 将剩下的乘积中所有的因数乘起来，就得到最小公倍数
（5）最大公约数的求解步骤
■ 将所有式子表示为各自的质因数的乘积形式
■ 将式子中相同的质因子都提出来，并取幂指数较小的一个作为其相应的公因数
■ 将取出的公因数相乘，就得到了最大公约数
（6）最大公约数和最小公倍数的性质
■ 设GCF表示犪和犫的最大公约数，LCM表示这两个数的最小公倍数，则具有以下的公式
■ 若犿为自然数，则犿犪和犿犫的最大公因数为犪和犫的最大公约数的犿倍
■ 若犿为自然数，则犿犪和犿犫的最小公倍数为犪和犫的最小公倍数的犿倍
■ 若犪和犮的最大公约数为1，则犪×犫和犮的最大公约数等于犫和犮的最大公约数
■ 若犪和犮的最大公约数为1，且犮是犪×犫的一个因子，则必有犮是犫的一个因子
■ 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积
3.整数的整除特性
（1）Here （表1—1）are some shortcuts to determining divisi-bility by common numbers：
(2)当一整数被3，4，5，8，9除，不能被除尽时的余数特征
■整数的各位的和被3除余几，则这个整数被3除余几
■整数的后2位被4除余几，则这个整数被4除余几
■整数的最后1位被5除余几，则这个整数被5除余几
■整数的最后3位被8除余几，则这个整数被8除余几
■整数的各位的和被9除余几，则这个整数被9除余几
(3) 若a可被b整除，b可被c整除，则a可被c整除
4.连续整数的性质
(1)任何两个连续整数中，一定是一奇一偶
(2)任何三个连续整数中，恰有一个数是3的倍数，而且这三个连续整数之积能被6整除
(3)k个连续整数的和等于最中间那个数(或者最中间两个数的平均值)乘以k
(4)k+1个连续整数n, n+1, n+2 , …，n+k的和是n+k/2×(k+1)
三、平方数的基本性质
(1)平方数的个位是0，1，4，5，6，9 之一
(2)偶平方数能被4整除
(3)奇平方数被8整除余1，即它可以写成 8k+1，k为整数
(4)在相邻的两个自然数的平方之间不存在其他的完全平方数
(5)任何两个相邻自然数之积不是完全平方数
(6)两个奇数的平方之和不是完全平方数
(7)如果一个小于1的正分数平方，则得到的结果要比原分数小，即：如果0<n<1，则n2<n
四、自然数n次幂的位数特征
(1)尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6 循环
(2)尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环
(3)尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环
(4)尾数为6的数的幂的个位数一定以6循环
(5)尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环
(6)尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环
(7)尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环
五、与因子有关的性质
(1)因子数的求法：将数n分解为质因子的相乘形式，然后将每个质因子的幂的指数分别加1之后连乘的结果就是n的因子的个数：
n=ax·by·cz(a,b,c为质数)
因子数=(x+1)(y+1)(z+1)
(2)若自然数n不是完全平方数，则
的因子中小于n的占一半，大于的也占一半
(3)若自然数n是完全平方数，则也是的一个因子，且的因子中除了外，小于的占一半，大于n的也占一半
(4)推论：任何一个自然数若有奇数个因子，则此自然数必为完全平方数，若它有偶数个因子，则必不为完全平方数
(5)只有1个因子的自然数只有数1
(6)只有两个因子的自然数都是质数
答案
1.D 2.202 3.E 4.C 5.C 6.B 7.A 8.E 9.C 10.46 11.C 12.E
13.A 14.B 15.990 16.E 17.C 18.128 19.8 20.C 21.C 22.B
23.E 24.A 25.E 26.A 27.D 28.71 29.D 30.D 31.D 32.B 33.E 34.B 35.D 36.C 37.E 38.C 39.D 40.E 41.E
解析
1.由s，t，u，v四个数相乘得零，可知这四个数中至少有一个数为零；而由r，s，t，v四个数相乘得1，可知这四个数都不能为零，综上所述可得u=0，故选择D。
2.五个连续整数之和为1 000，可知中间的数为1 000/5=200，所以其中数值最大的数为200+2=202。
3.由题设a和b都是奇数，故可以采用赋值法，假设a=3，b=5，则(a+1)b=20，(a+1)+b=9，(a+1)-b=-1，故Ⅱ和Ⅲ都是奇数，故选择E。
4.将38分解质因数有38=2×19，故38最大的质因数是19，将100分解质因数有100=2×2×5×5，故100最大的质因数是5，所以m+n=19+5=24，故选择C。
5.由于
故r=54，t=2，故r×t=108，故选择C。
6.由题设知(2×p+7)/5之后的余数是3，故可将每个选项代入式中一一验证，可知B为正确答案。
7.由题设要求，x和y必须是连续的正整数，故x=1，y=2，故选择A。
8.由题设，x和y是连续的正的奇数，y>x，故采用赋值法，可使x=1，y=3，则y2-x2=8，代入五个选项可得E选项的值是8，故选择E。
9.由题设有15分别除以4，6，12这三个正整数可得余数为3，故选择C。
10.由题设有42+4=46，故这9个连续的正整数中的最大值为46。
11.由题设，x+y为偶数，故(x+y)2也是偶数，且(x+y)2+x+z为奇数，故x+z为奇数，因为偶数+奇数=奇数，故x和z必然是一个为偶数，一个为奇数，故选择C。
12.由题设，集合S中的数减1后为完全平方数(即减1后开根号为整数)，而五个选项中只有50减1后得49，开根号为7，故选择E。
13.由题设中可知，简单平方数只有1、其本身和其本身的平方根三个正因数，且必须都是整数，故可采用排除法，100，81，64这三个数的因数的个数大于3个，33开根号不是整数，故选择A。
14.由题设有a3b2=33×42=432，故可采用代入法，将每个选项代入该式中可知选项B符合题意，故选择B。
15.由题设，三位数中能整除10的必然是末尾数为0，而其中最大的数的前两位必然都是9，故所求三位数为990。
16.由于1，4，25，36都可以由某个整数平方得到，故可以将前四个选项排除，故选择E。
17.由题设可以采用赋值法，假设这两个数分别为2和3，那么t就是5，再采用代入法，可得C选项的值等于3，故选择C。
18.设要求的数为x，则由题设有，2x-3=253，解方程得x=128。
19.由题设可知，n的正因数有1，p，r，s，p×r，p×s，r×s，n，一共8个。
20.由于k能被3整除，所以k的各位数字之和必须能被3整除，故由此可排除A,B,D,E，故选择C。
21.由题设，当所选的数字是13时，会显示13的2倍，也就是26，当所选的数字是26时，会显示26本身，故Ⅰ和Ⅱ都是正确的，故选择C。
22.由等差数列前n项求和公式Sn=na1+dn(n+1)/2，代入数据可解得n=48，由an=a1(n-1)d，可得x=25，故选择B。
23.采用赋值法，由题设可知n可以是任意负数，则假设n=-3，那么代入各项可得A,B,C,D四项的值都是负数，只有E是正数，故选择E。
24.采用代入法，将每个选项代入可得A符合题意，故选择A。
25.采用赋值法，假设t=3，那么代入每个选项可得E选项所得的值为偶数，其他四项所得的值都是奇数，故选择E。
26.由题设可知所求的数字百位数是3，个位数是4，那么这样的数字十位数可以是0到9这十个数字中的任意一个，那么题目所要求的这样的三位数可以有10个，故选择A。
27.由题设可知，任意数值的a乘以k得到的数都是a，那么k只能等于1，故选择D。
28.由题设可知任意五个正整数的平均数是15，那么要使得这五个数字中的某一个足够大，必须使另外四个数字都是1，那么这个最大的数字就是71。
29.由题设可知y和x2成正比，那么可列出等式，
解得x=3，故选择D。
30.采用赋值法，假设x=9，y=25，那么代入Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ三个式子中可知，只有Ⅰ和Ⅲ所得数字可以被15整除，故选择D。
31.由题设有，n=111/3-2=35，代入五个选项中验证可知D式成立，故选择D。
32.由题设有3+n小于0,5+n大于0，故将五个选项代入题设可得，B成立，故选择B。
33.由题设可知x+3能被2整除，则x+3必然是偶数，故x只能是奇数，才能符合题意，故选择E。
34.因为p能同时整除n+3和n+10，那么p必然是7或者7的倍数，根据排除法可选择B。
35.任何正整数被3除以后的余数只有可能小于3，故选项中有大于等于3的数字的都可以排除，故选择D。
36.由题设可知4x=12×2=24，故x=6，故选择C。
37.本题的难点是读懂题意。k为2，k，3的倍数。当k为5时，5为2，5，3的倍数，即k可以为30，60或90等，因此本题答案为E。
38.要使正整数k的值最小，且满足条件5k/3开根号后是整数，故令5k/3依次等于1,4,9,25，…，进行试验，当其等于25时，k才第一次成为整数15，故选择C。
39.由题设有，大于20且小于30的正整数中能由两个不同质数相乘得到，那么这样的数只有21,22,26，故选择D。
40.采用赋值法，由题设可知k是一个正整数，则令k=10，代入选项中的五个式子后，可知只有E选项得到的结果42可以成为一个奇数的二倍，故选择E。
41.由题设可知，所求的整数组合的要求是一个整数是另一个整数的二倍，故这样的组合有无数组，故选择E。