第六章重积分_2019年考研历届数学真题题型解析（数学一）-QQ阅读中文科幻网

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第六章重积分

考试内容与要求

考试内容

二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用．

考试要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理．

2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.

3．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.

题型6.1 二重积分的定义

（10,4分）=

【】

【答案】应选（D）.

【分析】用二重积分（或定积分）的定义．

【详解】因为

所以应选（D）.

【评注1】也可用定积分定义计算．

【评注2】以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖．

题型6.2 交换积分顺序

1.（04,4分）设f（x）为连续函数，，则F′（2）等于

（A）2f（2）.

（B）f（2）.

（C）- f（2）.

（D）0.

【】

【答案】应选（B）.

【分析】由于累次积分的积分限均与t有关，不能直接求导，应先交换积分次序，然后再求导．

【详解】由原积分限得积分区域

D= {（x, y）| 1≤y≤t, y≤x≤t}.

交换积分次序：

从而F′（t）= f（t）（t-1），于是F′（2）= f（2）．故应选（B）.

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2.（11,11分）已知函数f（x,y）具有二阶连续偏导数，且f（1,y）= 0,f（x,1）= 0,，其中D={（x,y）| 0≤x≤ 1,0≤y≤ 1}，计算二重积分

【详解】把二重积分化为二次积分，用分部积分法．

用分部积分法

交换积分次序

再用分部积分法

所以

【评注】注意在计算二次积分的过程中对分部积分法及已知条件的应用.

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3.（14,4分）设f（x, y）是连续函数，则=

【】

【答案】应选（D）.

【分析】本题主要考查二重积分的交换积分次序．

【详解】的积分区域是由直线x+ y= 1，单位圆x2+ y2= 1在第二象限部分及x轴所围成的平面区域．令x= r cosθ, y= r sinθ，则0≤θ≤π，直线x+ y= 1的极坐标方程是r cosθ+ r sinθ= 1，单位圆x2+ y2 = 1的极坐标方程是r= 1，因此

故应选（D）.

【评注】直角坐标下的二重积分转化为极坐标下计算时，一定不要遗漏面积元素中的r.

小结

1．交换积分次序是常考题型，此题型通常以两种形式出现．

（1）题目本身要求交换积分次序．

（2）在进行计算时，按原积分次序计算比较复杂或无法进行计算，必须将积分次序交换．对于这种类型的题目，一般可从被积函数的类型看出．

如被积函数中关于x的函数为等，则应后对x积分．

2．计算形如的积分，若积不出来，则可考虑交换积分次序，或利用分部积分法．

3．有些累次积分只交换积分次序不能解决问题，则应考虑交换坐标系．

如R，

由于被积函数中含有, ，从而交换积分次序无法解决问题．应在极坐标系下计算，此时

题型6.3 利用区域的对称性和函数的奇偶性求积分

1.（06,10分）设区域D = {（x,y）|x2+y2≤ 1,x ≥ 0}，计算二重积分I =

【详解】由区域D关于x轴的对称性知．利用极坐标可得

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2.（09,4分）如图1—6—1，正方形{（x, y）|| x| ≤1, |y|≤1}被其对角线划分为四个区域则=

图1—6—1

（A）I1.

（B）I2.

（C）I3.

（D）I4.

【】

【答案】应选（A）.

【分析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性．

【详解】 D2, D4两区域关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数，所以I2= I4= 0;D1, D3两区域关于y 轴对称，被积函数是关于x的偶函数，所以

因而正确答案为（A）.

小结

利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性化简运算是重积分中的一个重要考点，常用以下主要结论．

1．对二重积分：

（1）若D关于x（或y）轴对称，f（x, - y）= - f（x, y）（或f（- x, y）= - f（x, y）），则

（2）若D关于x（或y）轴对称，f（x, - y）= f（x, y）（或f（- x, y）= f（x, y）），则

其中D1为D中y ≥0（或x≥0）的部分．

（3）若将D中x、y互换D不变，则

2．对三重积分

（1）若Ω关于xOy 面对称，f（x, y, - z）= - f（x, y, z），则

（2）若Ω关于xOy 面对称，f（x, y, - z）= f（x, y, z），则

其中Ω1为Ω中z≥0的部分．

上述性质可类似地应用于关于其他坐标面的对称性和函数的奇偶性．

（3）若将x, y, z互换，Ω不变，则

在计算重积分时，应首先观察积分区域的形状，若积分区域关于某坐标轴或坐标平面具有对称性，应立刻想到被积函数的奇偶性．但还应该注意，有时并非整个区域具有对称性，也非整个被积函数具有奇偶性．若积分区域的某一部分具有对称性，被积函数的一部分具有奇偶性，则在此部分应用如上给出的结论，已考过的题目也充分说明了这一点．

题型6.4 分块积分

（05,11分）设D= {（x, y）| x2+ y2≤, x≥0, y≥0}, [1+ x2+ y2]表示不超过1+ x2+ y2的最大整数，计算二重积分

【分析】此题可采用两种方法处理[1+ x2+ y2]：

（1）将二重积分转化成极坐标系下的二重积分，[1+ x2+ y2]= [1+ r2]，写出[1+ r2]在区间上的具体表达式，再积分．

（2）按[1+ x2+ y2]的要求将D分成两个区域，将原二重积分分成两个二重积分之和再计算．

【详解2】记D1= {（x,y）|x2+y2＜1,x≥0,y≥0}，

小结

若被积函数中含有绝对值、取整函数或取最值的函数，则应按照被积函数的特性将积分区域分块，然后在每一块上积分．这与定积分中相应的题型解法类似．

题型6.5 选择适当坐标系计算重积分

1.（03,12分）设函数f（x）连续且恒大于零，

其中Ω（t）= {（x, y, z）| x2+ y2+ z2≤t2}, D（t）= {（x, y）| x2+ y2≤t2}.

（1）讨论F（t）在区间（0, + ∞）内的单调性．

（2）证明：当t＞0时，F（t）＞G（t）.

【分析】利用极、球坐标将F（t）中的二、三重积分化为累次积分后，再利用变限积分求导．

【详解1】（1）利用球坐标和极坐标

所以在（0, + ∞）上F′（t）＞0，故F（t）在（0, + ∞）内单调增加．

（2）因

要证明t＞0时，F（t）＞，只需证明t＞0时，F（t）- ＞0，即证

故g（t）在（0, + ∞）内单调增加．因为g（t）在t= 0处连续，所以当t＞0时，有g（t）＞g（0）=0，因此，当t＞0时，F（t）＞

【详解2】（1）同详解1.

（2）同详解1，只需证明＞0，

其中D= {（r, u）| 0≤r≤t,0≤u≤t}，由轮换对称性得

由于f（r2）＞0,（r- u）2＞0，故Δ＞0，即F（t）＞

【评注1】这是一道综合题，涉及二、三重积分化为累次积分、变限积分求导和积分不等式的证明．在复习时，应注意学会如何把一个综合题分解为若干步进行讨论．

【评注2】当积分区域的边界面函数和被积函数含有x2+ y2+ z2因子时，常采用球坐标计算三重积分，球坐标与直角坐标的关系为：x= rsinφcosθ, y= rsinφsinθ, z= rcosφ.

一般地：

若空间闭区域Ω表示为{（r, φ, θ）|r1（φ, θ）≤r≤r2（φ, θ）, φ1（θ）≤φ≤φ2（θ）, α≤θ≤β}，则

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2.（06,4分）设f（x, y）为连续函数，则等于

【】

【答案】应选（C）.

【详解】由原积分限知，积分区域为

于是在直角坐标系下选用先x后y 的积分次序得

故应选（C）.

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3.（09,4分）设Ω= {（x, y, z）| x2+ y2+ z2≤1}，则=_______.

【答案】应填

【详解1】利用球面坐标．

【详解2】利用先二后一．

其中Dz= {（x, y）| x2+ y2≤1- z2}.

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4.（15,4分）设D是第一象限由曲线2xy= 1,4xy= 1与直线y=x,y= 围成的平面区域，函数f（x,y）在D上连续，则=

【】

【答案】应选（B）.

【分析】画出积分区域，用极坐标把二重积分化为二次积分．

【详解】曲线2xy = 1,4xy = 1的极坐标方程分别为

直线y= x, y= 的极坐标方程分别为θ= , θ= .

所以

应选（B）.

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5.（15,4分）设Ω是由平面x+ y+ z= 1与三个坐标面所围成的空间区域，则2y+ 3z）dxdydz=______.

【答案】应填.

【分析】利用直角坐标化三重积分为三次积分进行计算及使用先二后一积分法，或用轮换对称性求解更简单．

【详解1】

第一个积分化为三次积分，第二个积分用先二后一积分，

所以.

【详解2】用先二后一积分

所以.

【详解3】利用轮换对称性

【评注】上述三种解法，详解3是最简单的解法.

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6.（16,10分）已知平面区域，计算二重积分

【详解】积分区域D关于x轴对称，故由对称性知

【评注】计算过程中用到了公式

否则计算稍显复杂．

小结

1．重积分的计算在考研数学中占了很大比重，除了经常单独出题外，考生还应注意在曲线积分和曲面积分中，借助于格林公式和高斯公式可将问题转化为二、三重积分的计算．

2．计算重积分的一般步骤为：

（1）画出积分区域的示意图；

（2）根据积分区域和被积函数的特性选择适当的坐标系（二重积分用直角坐标系、极坐标系；三重积分用直角坐标系、柱、球坐标系），此外还应注意有无化简运算的特征；

（3）选择适当的积分次序：直角坐标系下，边界函数和被积函数关于哪个变量的关系式复杂，对此变量一般后积；极坐标系下，一般选用先ρ后θ的顺序；柱坐标系下，一般选用先z后ρ再θ的顺序，此时还应注意“先二后一”或“先一后二”的应用；而球坐标系下常用的顺序是先ρ再φ最后θ；

（4）确定积分限，化为累次积分计算．

3．已考过的和三重积分有关的题目大多可以用柱坐标和球坐标计算．而当选用柱坐标时，有些可以用“先二后一”或“先一后二”的方法，特别当被积函数只和一个变量有关时，可考虑尝试此种方法．

一般地，若积分区域为旋转体，被积函数中含有x2+ y2, x2+ z2, y2+ z2时，可考虑用柱坐标．若积分区域由锥面和球面围成，而被积函数中含有x2+ y2+ z2因子时，常采用球坐标．

题型6.6 重积分的应用

（10,4分）设Ω= {（x, y, z）x2+ y2≤z≤1}，则Ω的形心坐标=_____.

【答案】应填.

【分析】用柱面坐标计算两个三重积分，代入形心坐标的计算公式．

故应填.

小结

1．二重积分的应用主要包括：求曲面面积、平面薄片的重心及其转动惯量、对质点的引力等．

2．三重积分的应用主要包括：求物体的质心、转动惯量、物体对质点的引力等．

3．在利用重积分求上述几何、物理量时，应注意坐标系的选择，尽量化简运算．

4．在求上述几何、物理量时注意对称性的应用．

5．记住常用的几何、物理量的计算公式对于备考很有用．

本章总结

本章历年试题按题型分值分布情况如表1—6—1所示．

表1—6—1

从表中可以看出，题型6. 2、6. 3、6. 4、6. 5、6. 6在所考过的题目中所占比例比较高，这说明在计算重积分的过程中，注意区域的对称性和函数的奇偶性是很重要的．近几年来又出现了分块求积分的问题，已考过含有取最值函数和取整函数的积分，还可能考含有绝对值的积分．所考的交换积分顺序的题目均为二重积分，实际上在三重积分中也存在类似的问题．在计算三重积分的过程中要注意柱、球面坐标的应用以及相应的定限方法．