4.2 参数方程的导数

MATLAB的符号运算工具箱并没有提供参数方程求导的函数，所以这里先看一下参数方程求导的数学公式，然后根据该规则编写出通用的MATLAB求解程序，直接求解参数方程的求导问题。

定理4-3 若已知参数方程y=f(t)，x=g(t)，则dny/dxn可以由递推公式求出

MATLAB并没有提供可以直接用于参数方程的高阶导数求取的函数，所以应该编写一个通用函数完成这项工作。我们用循环结构编写出求取参数方程任意阶导数的通用MATLAB函数，其效率高于文献给出的递归调用格式的函数。

例4-13 已知参数方程，，试求。

解 由前面给出的函数调用格式，可以得出所需的高阶导数。

得出如下的结果：

对sin t、cos t合并同类项后，通过手工整理得出

例4-14 已知参数方程x(t)=ln t，y(t)=tm，试求出dny/dxn。

解 我们编写的paradiff()只能求解给定数值n的问题，并不能接受n为变量的命令，所以可以选择一些特定的n值求导，并从结果总结函数的n阶导数。给出下面的命令：

直接得出f1=mtm，f2=m2tm，f3=m3tm，f4=m4tm。可见，dny/dxn=mntm。

由数学归纳法可以很容易证明这样的结论。由f1可知k=1命题成立，假设k=n时命题成立，即dny/dxn=mntm，由于该表达式仍是参数方程，所以k=n+1时，可以用如下命令求出dn+1y/dxn+1。

     >> syms n; F=m^n*t^m; F1=simplify(diff(F,t)/diff(x,t))

其结果为F1=mn+1tm，说明k=n+1命题也成立，因此可以由数学归纳法证明dny/dxn=mntm对任意自然数都成立。

如果想求出x(t)对y(t)的高阶导数，则可以给出下面的命令。

所得出的结果为f1=1/(mtm)，f2=−1/(mt2m)，f3=2/(mt3m)，f4=−6/(mt4m)，由此归纳出dnx/dyn=(−1)n+1(n−1)!/(mtnm)。

仍可以采用数学归纳法证明上面的结论。已知k=1时命题成立，假设k=n时上式成立，则可以由下面语句导出k=n+1时的结果为(−1)nn(n−1)!/(mtm(n+1))。显然，k=n+1时命题也成立，由数学归纳法证明该命题是正确的。

     >> F1=(-1)^(n+1)*factorial(n-1)/m/t^(n*m); diff(F1,t)/diff(y,t)

另外，可能细心的读者会注意到，对本例而言，dny/dxn̸=dnx/dyn，这是正常的现象，不要弄混了。