1.1 离散型寿险模型

离散型人寿保险模型是指以离散型未来寿险为基础，保险金在被保险人死亡或生存的保单年度末支付为假设条件而建立的人寿保险数学模型，可分为死亡保险、生存保险、两全保险和变额受益寿险等。

1.1.1 死亡保险

死亡保险按保险责任生效的时间可分为即期死亡保险和延期死亡保险；按保险责任期限可分为终身死亡保险和定期死亡保险。

1.1.1.1 即期死亡保险

[基本算法示例]即期终身死亡保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

解：

（1）问题①求解

P =b·Ax

（2）问题②求解

[实验1.1.1]即期终身死亡保险趸缴纯保费计算。

35岁的林先生投保了一份保险金额为10000元的即期终身寿险，保险金在被保险人死亡所处的保单年度末支付，预定年利率为6%，并采用经验生命表（2000—2003）。求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=10000；

极限年龄（ω）=105；

生命表类型（Lijk）=L211。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.1.1.2 延期死亡保险

[基本算法示例]延期定期死亡保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.1.2]延期定期死亡保险趸缴纯保费计算。

35岁的林先生投保了一份保险金额为10000元的30年延期定期寿险，延期5年，保险金在被保险人死亡所处的保单年度末支付，预定年利率为6%，并采用经验生命表（2000—2003），需要求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=10000；

保险期限（n）=30；

延期期限（h）=5；

生命表类型（Lijk）=L211。

（2）需要求解的问题

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.1.2 生存保险

生存保险只能是定期保险，按保单生效时间可分为即期生存保险和延期生存保险。[基本算法示例]延期定期生存保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.1.3]延期定期生存保险趸缴纯保费计算。

现年28岁的宋小姐，投保了一份30年的离散型延期生存保险，延期5年，保险金额为8500元，预定年利率为6%，并采用经验生命表（2000—2003），需要求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=28；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=8500；

保险期限（n）=30；

延期年数（h）=5；

生命表类型（Lijk）=L212。

（2）需要求解的问题

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.1.3 两全保险

两全保险只能是定期保险，按保单生效时间可分为即期两全保险和延期两全保险。

[基本算法示例]即期定期两全保险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.1.4]即期定期两全保险趸缴纯保费计算。

现龄40岁的陈女士，购买一份保险金额为8000元的20年即期两全保险，保险额于被保险人死亡所处的保单年度末支付，采用经验生命表（2000—2003），预定年利率i=6%。求保单的趸缴纯保费和赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=40；

预定年利率（i）=0.06；

保险金额（b）=8000；

保险期限（n）=20；

生命表类型（Lijk）=L212。

（2）需要求解的问题

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var（bZ）。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.1.4 变额受益寿险

变额受益寿险是指保险金额的给付随着被保险人未来寿命的变化而变化的人寿保险。变额受益寿险按保险金额变动方式可分为保额递增和保额递减寿险；按保险责任生效时间可分为即期变额受益寿险和延期变额受益寿险。这里主要讨论保额递增和保额递减的变额寿险。

1.1.4.1 保额递增的变额寿险

[基本算法示例]即期终身保额递增寿险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②赔付现值随机变量的方差Var。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.1.5]即期终身保额递增寿险趸缴纯保费计算。

35岁的林先生，购买离散型的递增的即期终身寿险，保险利益是：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付5000元；在第二个保单年度内死亡，则给付5100元；在第三个保单年度内死亡，则给付5200元，以此类推。预定年利率为6%，并采用经验生命表（2000—2003），求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

首个保单年度的保险金额（b）=5000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100；

极限年龄（ω）=105；

生命表类型（Lijk）=L211。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解

1.1.4.2 保额递减的变额寿险

[基本算法示例]即期定期保额递减寿险趸缴纯保费。

需要求解的问题类型：

①保单趸缴纯保费P；

②赔付现值随机变量的方差Var。

解：

（1）问题①求解

（2）问题②求解

[实验1.1.6]即期定期保额递减寿险趸缴纯保费计算。

35岁的林先生，购买离散型递减的30年期的即期定期寿险，保险利益是：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给付10000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9900元；在第三个保单年度内死亡，则给付9800元，依此类推，直到在第30个年度内死亡，给付7100元。预定年利率为6%，并采用经验生命表（2000—2003），求保单趸缴纯保费和保单赔付现值随机变量的方差。

解：

1．数据录入

（1）已知数据录入

投保年龄（x）=35；

预定年利率（i）=0.06；

保险期限（n）=30；

首个保单年度的保险金额（b）=10000；

保单年度保险金额公差额（Q）=100；

生命表类型（Lijk）=L211。

（2）需要求解的问题类型

①保单趸缴纯保费P；

②保单赔付现值随机变量的方差Var。

2．问题解答

（1）问题①求解

（2）问题②求解