1.2　平面曲线的表示形式

日常生活中经常见到各种曲线，如物体的轮廓线，天上流星划过的痕迹等.人体中也呈现出许多曲线，如图1-11给出的是比例协调的人体轮廓线.

在临床医学和基础医学研究中，各式各样的曲线种类繁多、用途不一.例如图1-12所示是研究代谢问题时，口服葡萄糖耐量试验（OGTT）中血糖与时间、胰岛素浓度与时间关系曲线.再如图1-13表示男性尺骨骨密度与年龄变化的关系曲线.

曲线可以看作是一点按照某种规律运动的轨迹，运动的规律性通常可以用动点的坐标表达出来，其表达的形式常分为一般形式与参数形式等.本节介绍平面曲线的常见表示形式，即平面曲线的方程类型，也涉及某些运动轨迹的方程.

1.2.1　一般形式

我们知道，描述曲线（包括直线）的方程均含有两个未知量.设有曲线C与含有x，y的等式F（x，y）=0，如果曲线C上所有点的坐标（x，y）都满足方程F（x，y）=0；所有坐标满足方程F（x，y）=0的点（x，y）都在曲线C上，则称F（x，y）=0为曲线C的方程，即曲线的一般形式.例如圆：x2+y2=4，椭圆：2x2+3y2=6，双曲线：2x2-3y2=-6等.

如果把曲线看成是点集S1，把方程的解所确定点的全体看成是另一个点集S2，曲线上的点与方程关系可以描述成S1⊆S2，S2⊆S1，即S1=S2.因此从集合的观点看，构成这条曲线的点集与该方程的解所确定的点集是同一个集.从这个意义来说，曲线及其方程可以看成一回事，对于曲线方程来说，有时也就以该曲线的名字相称.把几何中的点和数，曲线和函数表达式之间建立了密切联系之后，就可对曲线的研究归结到比较成熟也较为容易驾驭的数量关系的研究.

由曲线方程的定义不难认为，含有x，y的等式F（x，y）=0都可以表示平面曲线，如平面二次曲线的一般方程为

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0；　　　　（1.1）

正弦曲线、余弦曲线可以分别写成

y-sinx=0；y-cosx=0.

一般地，给定曲线的方程我们总是需要知道其几何形状，如果知道曲线的一般方程，其对应的图形一般不易作出，而需要做一些转化或借助别的方法获得.例如x2+2xy+4y2+x-2y-1=0，或者y-3sinx=2cosx的图形不借助于相关工具就很难想象出来.

1.2.2　参数形式

曲线是运动规律的几何表示，如果引进一个适当的参变量，比如说t，把动点（x，y）的坐标分别表示成t的函数：

x=φ（t），y=ψ（t）.

这样，通过参变量t，就把x、y间接地联系来了，这就表示了点的运动规律.

例1　以初速度v0、仰角α（0°<α<90°）发射一发炮弹（不计空气阻力），求炮弹的运动轨迹方程.

解　由力学知识知道，炮弹的运动轨迹是在一个垂直于地面的平面内.为了求出炮弹的运动方程，先要在这一平面内建立如下的直角坐标系（见图1-14）：以炮口的中心位置O为坐标原点，过O的水平直线为x轴.然后把速度v0分解为水平分速度vx和垂直分速度vy，于是炮弹的曲线运动就是水平方向与铅直方向两个直线运动的合成.在水平方向，由于不受外力，因而始终保持常速v0cosα，所以炮弹的运动规律为x=v0tcosα；在铅直方向，由于受重力的作用，因而是匀加速运动，所以炮弹的运动规律是.

综合起来，就得到运动方程：

式中，t0是炮弹从发射到着地所需的时间.

由上例看出，炮弹运动轨迹上任意一点的坐标（x，y）都可由某一个t值经过上式得到.反之，对于每一个t值（0≤t≤t0），由方程确定的x，y为坐标的点，就是炮弹在时刻t所处的位置.把这一事实推广到一般，就得到曲线的参数方程的概念.

定义　对于曲线C及方程

如果曲线C上任何一点P（x，y）可由t的某一值通过（1.2）式给出；而且对于t的每一允许值，由（1.2）式确定的x，y为坐标的点P（x，y）都在曲线C上，就称（1.2）式为曲线C的参数方程（parametric equations），t称为参数变量或参数（parameter）.曲线C则称为方程（1.2）式的图形（graphics）.

事实上，如果曲线的方程为y=f（x）的形式，则可以看作是一种特殊的参数方程，这只要将自变量x看作参数，即

但对于一般方程如何得到其参数方程，没有固定方法，可以根据方程形式寻求不同的参数得到.

参数方程应用范围比较宽泛，很多学科（如微分几何，代数几何，力学等）所研究的曲线都采用参数方程的表达形式.例2给出了曲线应满足的几何性质，建立相应的参数方程的方法.

例2　设定圆的直径为OA=2a，过点O任作一弦交圆于P1，过A作圆的切线和OP1的延长线交于P2，设P1在OA上的投影为C，P2在直线CP1上的投影为P，求点P的轨迹方程.

解　法一：以O为原点，以OA所在的直线为x轴建立如图1-15（a）所示的坐标系，设P点的坐标为（x，y），取∠AOP1=θ为参数，于是，|OP1|=2acosθ，故

x=OC=|OP1|cosθ=2acos2θ；y=CP=AP2=OAtanθ=2atanθ.

由此得到点P的轨迹方程

法二：坐标系如图1-15（a）所示，于是圆的方程为

（x-a）2+y2=a2.

切线AP2的方程为x=2a；弦OP1所在直线的方程为y=tx（t为直线的斜率）.取t为参数，解方程组

得P1的坐标

同时易得P2的坐标

x2=2a，y2=2at.

由于点P的坐标为x=x1，y=y2，故得P点轨迹方程为

其中，t为参数.P点的运动轨迹如图1-15（b）所示.

在本题的两个解法中，我们分别取θ及t为参数，导出了不同的参数方程.这两个方程虽然形式不同，但它们确实表示同一曲线——箕舌线（见图1-15（b））.为了证实这一点，只要分别从方程中消去θ与t，最终它们都可以化为普通方程

从以上两个例题可以看出，在建立曲线的参数方程的过程中，除了坐标系的建立外，参数的选择起着关键的作用，它不仅决定着参数方程形式的繁简，而且还关系到曲线的参数方程是否能建立起来.

做参数方程的图形和做其他方程的图形类似，可以采用描点法.就是先在参数的可取值范围内取一系列的值；然后根据参数方程对应于坐标x，y的值，在坐标平面上找出以这些有序实数对为坐标的点的位置；最后用光滑曲线将这些点顺次连接，便得参数方程的图形.现在，一般情况下曲线的描绘都借助于计算机去完成（见本书第10章）.

1.2.3　极坐标形式

我们知道在极坐标系里，ρ=a的曲线是以极点为圆心，以a为半径的圆；θ=α的曲线是经过极点，且极轴与它交成α角的直线.一般地，设有曲线C及方程F（ρ，θ）=0，如果曲线C上任何一点P的极坐标中，至少有一个坐标（ρ，θ）满足方程F（ρ，θ）=0；满足方程F（ρ，θ）=0的坐标（ρ，θ）所对应的点P都在曲线C上.我们就称F（ρ，θ）=0为曲线C的极坐标方程（polar equation），称曲线C为F（ρ，θ）=0的图形.

显然根据点的极坐标不唯一性，一条曲线的极坐标方程形式也不唯一，一般有如下结论.

如果曲线C的方程为

ρ=f（θ），α<θ<β.

则对于整数k，方程

ρ=-f（θ+（2k+1）π），α-（2k+1）π<θ<β-（2k+1）π，

也是曲线C的极坐标方程.反之，对于方程

ρ=f1（θ），α<θ<β　　　　（1.4）

与

ρ=f2（θ），α-（2k+1）π<θ<β-（2k+1）π.　　　　（1.5）

其中，k为某整数.如果对于一切满足α-（2k+1）π<θ<β-（2k+1）π的θ恒有

f1（θ+（2k+1）π）=-f2（θ），

则方程（1.4）与方程（1.5）表示同一曲线

例3　证明方程

与方程

表示同一曲线.

证明　设

因为对于任何-π<θ<π，恒有

故所给两个方程表示同一曲线.

例4　等速螺线（阿基米德螺线，Archimedean spiral）射线l的端点为ρ=aθ，动点P从端点开始，沿着射线作等速运动，同时这条射线l绕点O作等速转动，则点P的轨迹称为等速螺线，或称阿基米德螺线（见图1-16）.其极坐标方程为

其中，v是动点P运动的速度，ω为射线l绕点O转动的角速度（ω为常量）.

这里建立曲线的极坐标方程的方法与在直角坐标系的情形一样.即在极坐标系中，曲线可以看作一点按照某种规律运动的轨迹.运动的规律性就是动点所满足的条件，而点又可以用极坐标（ρ，θ）来表示它的位置，因此，根据动点所满足的条件，可以得到曲线的极坐标方程.

例5　设定长为2a的线段端点分别在一直角的两边上滑动，从直角顶点O引线段的垂线OM，求垂足M的轨迹方程.

解　设线段AB的长度为2a，取直角顶点O为极点，一直角边所在的射线为极轴Ox，建立如图1-17所示的极坐标系.设点M的极坐标为（ρ，θ），由于OM⊥AB，故

于是

|OM|=|OA|cosθ=|AB|sinθcosθ=2asinθcosθ=asin2θ.

由此得垂足M的轨迹方程为

它的图像是四叶玫瑰线的一叶（见图1-18中的第一象限的部分）.

此外，本题θ的变化范围为区间，不能随意改变，例如，若把θ的取值范围改为[0，2π]，则ρ=asin2θ的图像就变成整个四叶玫瑰线了.由此可见，在建立曲线的极坐标方程时，θ的取值范围是不可忽视的.

根据曲线的极坐标方程，在极坐标系内仍然可以利用描点方法绘制其图形，也可以将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程或参数方程来绘制.假设曲线的极坐标方程为ρ=f（θ）（α≤θ≤β），则其参数方程为

x=f（θ）cosθ，y=f（θ）sinθ，α≤θ≤β.

其直角坐标方程为

反之，若曲线的一般方程为F（x，y）=0，则其对应的极坐标方程为F（ρcosθ，ρsinθ）=0.例如平面直线x+y=1的极坐标方程为；圆（x-a）2+（y-b）2=r2的极坐标方程为ρ2-2aρcosθ-2bρsinθ+a2+b2-r2=0.

显然同一曲线可以有不同形式的方程表示，这些方程有简有繁，取简是人们的首选.但有时为了某种特殊用途也有利用曲线的某一特定形式的方程.例如借用计算机绘制曲线时大多采用其参数形式.例如图1-19和图1-20所示为星形线和心形线.