1.3 圆周运动

圆周运动是一种简单但具有代表性的曲线运动。在一般圆周运动中，由于质点速度的大小和方向都在发生变化，即存在加速度，因此，为简单起见，引进自然坐标系。

1.3.1 切向加速度和法向加速度

如图1-9所示，一质点做曲线运动，在其轨迹上任一点可建立如下正交坐标系：一坐标轴沿轨迹切线方向，正方向为运动的前进方向，该方向单位矢量用符号“”表示；另一坐标轴沿轨迹法线方向，正方向指向轨迹内凹的一侧，该方向单位矢量用符号“”表示。由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为

自然坐标系的方位是不断变化的，因此也是一个变量。由加速度的定义有

下面以圆周运动为例来探讨一下。可以看出，式（1-14）由两项组成，第1项是由速度大小的变化引起的，其方向为的方向，即速度的方向，我们称此项为切向加速度，用符号“”来表示。有

如图1-10所示，质点在dt时间内经历弧长ds，切线的方向改变dθ角度。作出dt始末时刻的切向单位矢量，由矢量三角形法则，可知此极限情况下切向单位矢量的增量为

即与P点的切向正交。因此

式（1-14）中第2项可以写成

这个加速度沿法线方向，定义为法向加速度，用符号“”表示。即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量，即

其中，切向加速度的大小表示质点速率变化的快慢；法向加速度的大小反映质点速度方向变化的快慢。此时，加速度的大小为

的方向可由它与法线的夹角给出，为

如图1-11所示。

值得注意的是：上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但半径R要以相应的曲率半径ρ代替。

1.3.2 圆周运动的加速度

质点做匀速圆周运动时，其速度大小不变，方向时刻在变，但始终指向运动轨迹的切向方向。加速度永远沿着半径指向圆心，只改变速度的方向，称为向心加速度，其大小为

如图1-12所示，质点做变速圆周运动时，其速度大小和方向均时刻在变，但仍指向运动轨迹的切向方向。此时，加速度并不指向圆心，其方向由之间的夹角决定。

1.3.3 圆周运动的角量描述

质点做圆周运动时，除了线量，还可以用角量来描述其运动。角量有角位置、角位移、角速度、角加速度等。

如图1-13所示，设一质点在平面Oxy内绕原点做圆周运动。t=0时，质点位于（x，0）处，选择x轴正向为参考方向。t时刻，质点位于A点，圆心到A点的连线（即半径OA）与x轴正向之间的夹角为θ，我们定义θ为此时质点的角位置。经过时间Δt后，质点到达B点，半径OB与x轴正向之间的夹角为θ+Δθ，即在Δt时间内，质点转过的角度为Δθ，定义Δθ为质点对于圆心O的角位移。角位移不但有大小而且有方向，一般规定逆时针转动方向为角位移的正方向，反之为负。

当Δθ→0时，dθ可以当作一个矢量，写作，其方向与转动方向符合右手螺旋关系，如图1-14所示。角位置和角位移常用的单位为弧度（rad），弧度为一无量纲单位。

角位移Δθ与时间Δt的比值叫做Δt时间内质点对圆心O的平均角速度，用符号“”表示。

当Δt→0时，上式的极限值叫做该时刻质点对圆心O的瞬时角速度，简称角速度，用符号“”表示。

角速度的数值为角坐标θ随时间的变化率。在这里，值得注意的是是标量，但由于为矢量，所以，为矢量，与转动方向成右手螺旋关系。由于角位置和角位移的单位为弧度（rad），所以角速度的单位为弧度每秒（rad/s）。

同理，我们可以得出角加速度的定义。角加速度为角速度随时间的变化率

其方向为角速度变化的方向，单位为弧度每二次方秒（rad/s2）。

从以上式子我们也可以看出，α等于零，质点做匀速圆周运动；α不等于零但为常数，质点做匀变速圆周运动；α随时间变化，质点做一般的圆周运动。

质点做匀速或匀变速圆周运动时的角速度、角位移与角加速度的关系式为

与质点做匀变速直线运动的几个关系式为

相比较可知：两者数学形式完全相同。说明用角量描述，可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。

1.3.4 线量和角量的关系

如图1-15所示，一质点做圆周运动，在Δt时间内，质点的角位移为Δθ，则A、B间的有向线段与弧将满足下面的关系

两边同除以Δt，得到速度与角速度之间的量值关系

式（1-22）两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度大小之间的关系

将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系