1.5　流体流动的控制方程

流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括：质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。

如果流动包含有不同成分的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于湍流状态，系统还要遵守附加湍流输运方程。控制方程是这些守恒定律的数学描述。

1．质量守恒方程

任何流动问题都必须满足守恒定律。该定律可表述为：单位时间内流体微元体中质量的增加，等于同一时间间隔内流入该微元体的净质量。按照这一定律，可以得出质量守恒方程：

（1-21）

该方程是质量守恒方程的一般形式，适用于可压流动和不可压流动。源项是从分散的二级相中加入到连续相的质量（如由于液滴的蒸发），源项也可以是任何自定义源项。

2．动量守恒方程

动量守恒定律也是任何流动系统都必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中流体的动量对时间的变化率等于外界作用在该微元体上的各种力之和。

该定律实际上是牛顿第二定律。按照这一定律，可导出动量守恒方程：

（1-22）

式中：为静压；为应力张量；和分别为方向上的重力体积力和外部体积力（如离散相相互作用产生的升力），包含了其他的模型相关源项，如多孔介质和自定义源项。

应力张量由下式给出：

（1-23）

3．能量守恒方程

能量守恒定律是包含有热交换的流动系统必须满足的基本定律。该定律可表述为：微元体中能量的增加率等于进入微元体的净热流量加上体积力与表面力对微元体所做的功。该定律实际上是热力学第一定律。

流体的能量E通常是内能i、动能和势能三项之和，内能i与温度T之间存在一定关系，即，其中是比热容。可以得到以温度为变量的能量守恒方程：

（1-24）

式中：为比热容；为温度；为流体的传热系数；为流体的内热源及由于黏性作用流体的机械能转换为热能的部分，有时简称为黏性耗散项。

说明

虽然能量方程是流体流动与传热的基本控制方程，但对于不可压缩流动，若热交换量小到可以忽略时，可不考虑能量守恒方程。此外，它是针对牛顿流体得出的，对于非牛顿流体，应使用另外形式的能量守恒方程。