3.2 非正弦信号采样误差分析

3.2.1 非正弦信号时域内功率测量误差分析

设电网电压、电流信号分别为

其中，U_m、I_m分别为第m（m=1，2，…，M）次谐波电压、电流信号的幅值；φ_m、ψ_m分别为相应的谐波电压、电流信号的初相位；ω为基波电压、电流信号的角频率，且ω=2πf=2π/T，f、T分别为基波电压、电流的频率和周期。

在一个基波周期T内分别对电压、电流波形均匀采样N点，实际工程应用中常以固定频率f_s采样（采样周期T_s=1/f_s），则T=NT_s。假设被测信号的实际基波频率f′相对于理想基波频率f有Δf的偏差，即f′=f+Δf。设α=Δf/f，当α≠0时，NT_s/f′为非整数，相应的采样序列为非整周期序列。被测电压、电流信号的交流采样序列可写为

用数字积分法计算非整周期采样一个周期T内的有功功率，即

如果仅考虑式所有同频谐波（含基波）电压、电流的乘积项，则有

式中，P₀为整周期采样有功功率表达式；为同频率谐波电压、电流分量因非整周期采样引入的功率测量误差。

如果考虑上式中所有非同频谐波（含基波）电压、电流的乘积项，因非整周期采样也会产生功率测量误差，即

可见，P=P₁+P₂=P₀+P₀+P₂，由于非整周期采样频率偏差的存在，已经不满足三角函数的正交性：同频率谐波电压、电流分量因非整周期采样引入功率测量误差；非同频谐波（含基波）电压、电流分量因非整周期采样引入功率测量误差P₂。

当α=0时，、P₂均为0，非整周期采样变为整周期采样，整周期采样时，总有功功率为

即整周期采样时，总有功功率等于各次谐波有功功率之和，这是传统有功功率的计算公式；非整周期采样时，有功功率的相对误差为

3.2.2 非正弦信号频域内功率测量误差分析

对非整周期采样序列进行N点的离散傅里叶正变换和反变换，有正变换：

其中，（k=0，1，2，…，N-1）

同理可得到

其中，（k=0，1，2，…，N-1）

反变换得

本文中u（n）、i（n）均为实数，所以有

推导DFT变换后频域内有功功率表达式为

式中，|U（k）|、|I（k）|分别为u（n）、i（n）的第k点离散傅里叶变换U（k）、I（k）对应的幅值；φ（k）为U（k）所对应的相位值；ψ（k）为I（k）所对应的相位值。

在非整周期采样时，由于频谱泄漏，|U（k）|、|I（k）|不是第k次电压、电流谐波的准确幅值，产生了泄漏误差，含有频谱泄漏误差的有功功率表达

式为

在整周期采样且当k>M或k=0时，U（k）、I（k）均为0，也为0 (由于满足满足奈奎斯特定律，)，|U（k）|、|I（k）|分别是第k次电压、电流谐波的准确幅值，cos[φ（k）-ψ（k）]是第k次电压、电流谐波的功率因数，可以用上式准确计算第k次谐波的有功功率。也可以用下式计算基波和各次谐波的总有功功率：

3.2.3 仿真实例

为了验证以上分析的正确性，利用MATLAB软件进行仿真。电压信号和电流信号参数见表3.2，其中，基波频率f=50Hz，采样频率f_s=4500Hz，采样点数N=90。求P₀、、P₂、P₃和e。仿真结果见表3.3。

从表3.3可以看出，，同频率谐波电压电流分量和非同频谐波（含基波）电压、电流分量因非整周期采样引入功率测量；P₃=P，验证了有功功率计算公式的时域、频域的统一。当频率偏差Δf沿基频正方向增大时（α也增大），相对误差e增大；当Δf沿基频负方向减小时（α也减小），相对误差e增大。