5.3　弦世界片的整体情况

在关于玻色弦的所有讨论中，我们使用了这样一个事实：综合运用再参量化不变性和外尔不变性，能够将世界片度规局域地放进预定的格式。实际上，世界片度规的再参量化依赖于两个任意函数，以及世界片度规的外尔尺度，它们合起来足以衡量世界片度规的3个独立分量。至此，足以对自由度进行简单计算，但是还不足以整体理解弦世界片所扮演的重要角色。

我们专注于有闭合弦的情况。关于闭合、定向弦理论的世界片图如图5.2所示。树图对应于没有手柄的世界片，逻辑上是一个普通的球，如图5.2（a）所示；单圈图对应于圆环面，如图5.2（b）所示；多环图对应于具有几个手柄的面，如图5.2（c）所示。有几个手柄的球是黎曼面。

在零属树水平的情况下，黎曼定理指出，度量可以通过微分同胚映射加外尔尺度重新调节，以标准形式全局化。给定球面S2上的圆度规h0，任何度规h相当于形如的微分同胚映射。根据黎曼定理，S2上的任意两个度规共形等效。

我们继续研究属1的单-循环图。属1表面是一个普通圆环面。圆环面上的任意两个度规在整体上都等价于微分同胚映射加外尔尺度重新调节。这已不再是事实，图5.3中的两个圆环面不能以这种方法相联系。用分析的方法来描述差异，圆环面的构建过程如下。由复平面Z开始，挑选两个复数λ1和λ2，构建的

τ=λ2/λ1

（5.3.1）

不是实数。由式（5.3.1）定义的参数τ不要和弦世界片上的τ坐标混淆。如果需要，可互换λ1和λ2，假设Imτ>0，相当于τ在上半复平面上定义了一个点，故对任意整数n和m，可以定义一个圆环面。

z≈z+nλ1+mλ2

（5.3.2）

如图5.4所示，该圆环面从复平面Z上继承了平直度规，那么在微分同胚映射加外尔尺度重新定位的情况下，由不同λ1和λ2值定义的圆环面是否等价？

很明显，只有比值τ=λ2/λ1可以是一个微分同胚映射加外尔不变量（通常称为保角不变量）。事实上，重新调节z，有

式中，k是非零复数，由常数改变圆环面的度规，该常数可以被共形重新标度吸收。变换式（5.3.3），重新标度λ1和λ2，留下了固定比值τ，故仅τ共形不变。

τ是共形不变量，不能随着微分同胚映射加外尔尺度重新调节而变化。令a,b,c,d为4个整数，ad-bc=1，则矩阵

的行列式为1。行列式为1的整数值矩阵构成一个模群SL(2,z)。式（5.3.4）的逆矩阵是

假设我们用模群SL(2,z)的元素对λ1和λ2进行变换，即

则由

定义的圆环面的确与由式（5.3.2）定义的圆环面相同。式（5.3.2）和式（5.3.7）等价地定义了圆环面意指，圆环面的共形结构在τ的作用下不变。比较式（5.3.2）和式（5.3.7）可知，这个作用量是

在式（5.3.8）的约束下，复数τ是圆环面度量的唯一特征，圆环面不能被微分同胚加外尔变换吸收。这一论断的完整证明超出了本书的范围。

现在简要讨论属g>1的情况。考虑在属g的Σ表面添加一个手柄，制造出g+1的表面。首先在Σ表面做两个小孔，如图5.5（a）所示，然后用一个管道连接这两个小孔，如图5.5（b）所示，管道可以为任意长度的，还可以沿任意角度扭曲，如图5.5（c）所示。要指定两个孔中任何一个的位置，需要两个实参数或一个复参数。总之，在从属g到属g+1的过程中，我们引入了6个新的实参数（其中4个来自两个穿刺点的位置，1个长度、1个角度）或3个复参数，以便刻画属g作为Bg的面Σ。所以有

式（5.3.9）仅对g≥2有效，因为在图5.5中选择小孔位置时属1和属2的表面具有连续对称性，而对g=0或者g=1不存在不变性。Bg的实际值对于g≥2是3g-3，即。

下面讨论弦世界片整体几何的另一个方面。在执行包括幽灵的库仑规范的路径积分［式（5.1.13）］时，我们遇到一个问题：b++和c+是否具有弦世界片上可规范化的零模。b++、b--、c+和c-的微分协变方程分别是

在讨论这些方程的意义时，重在考虑在无穷小坐标重新参数化时度规的变换，这在式（5.1.6）中已经给出，即

这是在无穷小坐标的再参量化之下和的变化规律。比较式（5.3.11）与式（5.3.10）发现，c的零模是共形对称生成子，世界片的再参量化仅以自身的倍数改变了度规。在外尔尺度再标定中，这种改变能被吸收。

在树水平上，世界片作为一个球，可在复平面上做立体投影。令z=τ+iσ，它的共轭为=τ-iσ，则有

于是c+必须是z的解析函数。为了得到由生成的共形对称性而在无穷远处没有极点，必须在无穷远处像z2那样生长。所以式（5.3.12）有3个可以接受的解：。

为了分析高属曲面的幽灵零模，注意式（5.3.10）中关于c+方程意指：

式中，是曲面的标量曲率，而。由于，两边再以算符作用，当然为零。式（5.3.13）右边，不计系数1/2，左乘，然后遍及世界片Σ求积分，意味着：

在圆环面的情况中，具有平直度规，将式（5.3.13）中的最后一项从式（5.3.14）中丢弃，这意味着c+是协变常数。于是，在属1的表面，即c+=1，有一个可正则化的幽灵零模。对应地，圆环面唯一的共形对称是刚性变换z→z+a，其中a是复数。

现在转到反幽灵零模。我们已经定性地讨论了上述关于属g（g>0）表面上的事实：当g>0时，存在共形而不相等的度规。现在做定量分析。挑选一个背景度规hαβ，通常h的微扰δhαβ能否被再参量化和外尔尺度重新标度吸收？在世界片Σ上，工作在局域坐标系中，其中h++=h--=0，h+-=eϕ；显然δh+-能够被外尔重新标度吸收。问题是δh++和δh--能否被微分同胚映射吸收？当δh--是δh++的复共轭时，我们不妨研究后者。审查式（5.3.11）证明，当且仅当存在整体定义的ξ+具有等式δh++=2ξ+时，δh++能够被微分同胚映射所吸收。否则

对所有ξ+非零，式（5.3.15）关于ξ+的变分方程是

与b++=δh++-2ξ+一起，能够确认式（5.3.16）中的反幽灵零模式（5.3.10）。事实上，反幽灵零模与δh++的选择一一对应，式（5.3.15）不能消失，换言之，Σ度规的变形不能被再参量化和外尔尺度重新调节吸收。故在属g表面，反幽灵零模的数目正是先前称为Bg的数目，即B0=0，B1=1，Bg=3g-3（g≥2）。若g=2，则Bg=3×2-3=3。对于g=0和g=1能够核查。对于g=0，将赤道平面立体投影到平面上，式（5.3.11）变为

该式类似于式（5.3.12）这时Bg和Cg的行为像g的函数一样，对小g有些不规则，其差

表现得更平滑。这个差是由已知的经典理论，如Riemann-Roch定理，给定的。

G类黎曼面度规指定输入的共形不变参数，称为黎曼面的模数。这些参数空间叫作模空间。遍及弦世界片的循环积分（包括遍及模空间的积分）究竟以哪种方式进入取决于其形式。在获得正确积分方法的过程中，零模扮演着重要的角色，b零模和c零模分别与模的无穷小形变和库仑规范程序留下的完整对称性相联系。

不考虑离散的SL(2,z)等价性，属1表面的共形结构将由上半复平面的点τ指定。上半复平面叫作属1表面的Teichmuller空间，而它被SL(2,z)除得的商就是实际的模空间。这类似于多圈面。存在一个比较简单的Teichmuller空间，该空间刻画了表面的共形结构，直至某些分立相等的情况。在处理循环图的许多方法中，出现遍及Teichmuller空间的积分是很自然的，而模的不变性并非不言而喻。对一个可接受的理论，需要模数不变，因为是由τ刻画的表面，而τ是由SL(2,z)关联的，的确是相同表面上的再参量化，而模数不变是再参量化不变性的一个方面。

考虑类似于开弦和具有边界的世界片。例如，对开弦，在单圈水平上我们遇到一个为拓扑圆柱体的世界片，如图5.6（a）所示。根据经典理论，圆柱体上的任何图形都映射为复平面上的一个圆环面，如图5.6（b）所示。其他的单圈弦世界片是扭曲的圆柱面，或者莫比乌斯带，如图5.6（c）所示。