任务二　资金时间价值的计算

企业的财务活动与财务收支都是在一定的时空范围内发生的，为了正确地反映不同时期的财务收支，合理评价企业盈亏，我们必须考虑不同时点资金的差异。货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，就称为资金的时间价值，也称为货币时间价值。“时间就是金钱”，资金时间价值原理正是揭示不同时点上的资金换算关系的，它是财务管理最基础的观念之一，应用十分广泛。资金时间价值的计算方式通常有三种，即单利制、复利制和年金制。

情境1　运用单利制计算资金时间价值

单利是指在一定时期内，只就本金计算利息，各期利息在下一计息期都不计入本金再计算利息。单利制就是只就本金计算利息的一种计息方式。我国目前存、贷款利息都是按照单利制计算的。其计算公式如下：

式中：I代表利息；P代表现值（本金）；i代表每期利息率；n代表计息期数。

一、单利终值的计算

单利终值（F）就是按照单利制计算的本利和。其计算公式为：

【例1-1】　将1 000元存入银行，定期3年，年利息率6%，按单利制计息。

要求：计算3年后的本利和。

解：3年后的本利和为：

二、单利现值的计算

单利现值（P）就是单利制下的本金或者折现值。

如果本利和已知，单利现值可按下式计算：

按照单利计算资金时间价值的方法比较简单，但它未考虑各期利息在周转使用中的时间价值因素，不便于不同的财务决策方案之间的比较、评价。因此，在财务管理中通常采用复利计算资金时间价值。

情境2　运用复利制计算资金时间价值

复利是计算利息的一种方法。按照这种方法，每经过一个计息期，要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期是指相邻两次计息的时间间隔，如年、月、日等。复利是一个非常重要的概念，最能够反映资金时间价值的特性。

复利制计算资金时间价值

一、复利终值的计算

复利终值（F）是若干计息期以后包括本金和利息在内的未来价值，也称复利值。其计算公式可推导如下：

第一个计息期末的本利和（F 1）：

第二个计息期末的本利和（F2）：

同理，可得：

这就是复利终值的一般计算公式。式中：I代表利息；Fn代表n期后的复利终值；P代表现值；i代表利息率；n代表计息期数。计算项（1＋i）n称为复利终值系数，记作F（i，n）或（F／P，i，n），可以查本书附表一“复利终值系数表”。

【例1-2】　将1 000元投入某个项目，期限为5年，年利息率为8%，按复利计算。

要求：计算5年后的本利和。

解：5年后的本利和为：

二、复利现值的计算

复利现值是指若干期后收入或付出资金的现在价值。复利现值可以采用已知复利终值倒求本金的思路进行计算。其计算公式为：

式中：Pn代表n期复利现值；Fn代表n期后的复利终值；i代表每期利息率；n代表计息期数。计算项称为复利现值系数，记作（P／F，i，n），可以查本书附表二“复利现值系数表”。

已知终值求现值，习惯上叫作折现。在折现时所用的利息率叫折现率或贴现率。很显然，折（贴）现是终值的逆运算。

【例1-3】　想在4年后获得一笔资金3 000元，年利息率为8%，按复利计算。

要求：计算现在应存入银行的本金。

解：现在应存入银行的本金为：

情境3　运用年金制计算资金时间价值

所谓年金，特指连续期间内发生的一系列等额收付款项，即相同间隔期收入或支出等额款项。如折旧、租金、保险金、养老金等通常就是采用这种形式。年金按照其收付时点的不同分为多种形式，包括普通年金、即付年金、永续年金、递延年金等。

一、普通年金

普通年金亦称后付年金，是指发生在每期期末的等额收付款项，在经济活动中最为常见。

（一）普通年金终值

普通年金终值（F）是指发生在每期期末的等额收付款项的复利终值之和。假设在n期内，每期期末收付款为A，年利率为i，每期期末本利和记为Ft（t＝1，2，…，n），则普通年金的终值计算模型如图1-2所示。

图1-2　普通年金的终值计算模型

由图1-2可得出普通年金终值为：

等式两边乘以（1＋i）：

（Ⅱ）－（Ⅰ）得：

（Ⅲ）式就是普通年金终值的一般计算公式。式中：F代表普通年金终值；A代表每个相同间隔期期末收付的等额款项；i代表每期利息率；n代表计息期数。计算项称为年金终值系数，记作（F／A，i，n），可以查本书附表三“年金终值系数表”。

如果将（Ⅲ）式进行变形可得：

（Ⅳ）式称为年金终值的逆运算，这时A表示“年偿债基金”的数额。类似于“已知整取求零存”的问题。计算项称为偿债基金系数或积累系数，记作（A／F，i，n）。

【例1-4】　某人在5年内于每年年末将1 000元存入银行，定期5年，年利息率10%，按复利计算。

要求：计算5年后零存整取的本利和。

解：5年后零存整取的本利和为：

（二）普通年金现值

普通年金现值是一定时期内每期期末的等额收付款项的复利现值之和。设在n期内，每期期末收付款为A，年利率为i，每期期初现值记为Pt（t＝1，2，…，n），则普通年金的现值计算模型如图1-3所示。

图1-3　普通年金的现值计算模型

由图1-3可得出普通年金现值为：

等式两边乘以（1＋i）：

（Ⅱ）－（Ⅰ）得：

（Ⅲ）式即为普通年金现值的一般计算公式。式中：P代表普通年金现值；A代表每相同间隔期期末收付的等额款项；i代表每期利息率；n代表计息期数。计算项称为年金现值系数，记作（P／A，i，n），可以查本书附表四“年金现值系数表”。

（Ⅲ）式变形后有：

（Ⅳ）式是年金现值的逆运算，A为年回收额。类似于“已知整存求零取”之类的问题。计算项称为投资回收系数，记作（A／P，i，n）。

【例1-5】　某公司融资租赁设备一台，需在5年内每年年末支付租金80 000元，租赁公司年报酬率为10%。

要求：计算租入时一次支付的租金。

解：租入时一次支付的租金为：

二、即付年金

即付年金亦称为首付年金、预付年金或先付年金，它是指在每期期初收付等额款项的年金。可见，预付年金与普通年金的区别在于收付款的时点不同。因此，即付年金终值和现值的计算，可以在普通年金终值和现值的基础上进行调整。

即付年金与普通年金相比，期数相同，间隔相等，不同在于收付款时点，且刚好相隔一个间隔期，如图1-4所示。

图1-4　即付年金与普通年金的比较

（一）即付年金终值

即付年金终值是一定时期内每期期初收付等额款项的复利终值之和。即付年金与普通年金终值计算模型的比较如图1-5所示。

图1-5　即付年金与普通年金终值计算模型的比较

由于即付年金的收付期在期初，正好n期预付年金比n期普通年金多计算一期利息，所以即付年金终值是在普通年金终值的基础上乘以（1＋i）。即：

式中：F代表即付年金终值；A代表即付年金；i代表每期利息率；n代表计息期数。计算项称为即付年金终值系数，记作［（F／A，i，n＋1）－1］。

由公式可以看出，即付年金终值系数和普通年金终值系数相比，期数多1，系数少1。

【例1-6】　每年年初投入4 000元，年报酬率10%，按复利计算。

要求：计算第8年年末的终值。

解：第8年年末的终值为：

（二）即付年金现值

即付年金现值是一定时期内每期期初等额收付款项的复利现值之和。即付年金现值是在普通年金现值的基础上计算的。即付年金与普通年金现值计算模型的比较如图1-6所示。

图1-6　即付年金与普通年金现值计算模型的比较

由于即付年金的收付期在期初，正好n期预付年金比n期普通年金少贴现一期，所以即付年金现值是在普通年金现值的基础上乘以（1＋i）。即：

式中：P代表即付年金现值；A代表即付年金；i代表每期利息率；n代表计息期数。称为即付年金现值系数，记作［（P／A，i，n－1）＋1］。

由公式可以看出，即付年金现值系数和普通年金现值系数相比，期数少1，系数多1。

【例1-7】　A公司融资租赁设备一套，需在5年内每年年初支付租金8000元，租赁公司年报酬率为10%。

要求：计算租入时一次支付的租金。

解：一次支付的租金为：

三、永续年金

永续年金

永续年金是指无限期的等额收付款项。如优先股股票有固定的股息，而无到期日，其股息可视为永续年金。由于永续年金无终止时间，所以永续年金只有现值，没有终值。利用普通年金现值计算公式可以推导出永续年金的现值：

当n→∞时，（1＋i）－n→0，有：

式中：P代表永续年金现值；A代表每相同间隔期期末收付的等额款项；i代表每期利息率。

【例1-8】　某研究所拟每年将50 000元用于科研成果奖励，设年利率为5%。

要求：计算现在应投入的本金。

解：现在应投入的本金为：

【例1-9】　某投资者持有一公司优先股6 000股，每年可获得优先股股利1 200元，利息率为8%。

要求：计算该优先股历年股利现值。

解：该优先股历年股利现值为：

四、递延年金

递延年金是指在前一定时期内无款项收支，从中间某时点开始收付的年金形式，如图1-7所示。

图1-7　递延年金示意图

很显然，递延年金终值公式与普通年金终值公式完全相同；而递延年金现值的计算则有两种思路：

（1）按照全部期数（m＋n）折现后减去前面m期末发生收付款项的年金现值。

即：

（2）先将n期收付款项按普通年金折现至开始发生收付款项的期初（m时刻），然后再折现至初始0期（按未来值转换成现值）。

即：

【例1-10】　某投资项目于2010年开工，由于资金紧张，工期延期5年，2015年年初投产。投产后至2019年每年年末可获得收益40 000元。假设项目投资报酬率为6%，按10年期复利计算。

要求：计算折现至2010年年初的现值。

解：折现至2010年年初的现值为：

或：