三、《几何原本》的主要内容
《几何原本》共13卷,有5条公理,5条公设,131个定义,465个命题。这些命题之间,以及它们与定义、公理、公设之间,具有错综复杂的逻辑关系。
表2 各卷的定义和命题统计
∗第一卷还有5条公理和5条公设。
图2展示了《几何原本》中187个命题之间及它们与公设、公理和20个定义之间的关系。我们在此展示这张由计算机建模而制成的图,主要目的是让读者对这种错综复杂的逻辑关系有一个大致认识。
图2 《几何原本》中公理、公设、定义与命题之间的逻辑关系
顾名思义,一些人认为,《几何原本》的内容只是几何学。其实,书中关于“数”的理论,也占了相当大的篇幅,几近一半。不过其中多数内容,特别是关于不可公度线段的部分,现在已很少用到。
我们知道,在现代初等几何中,包含了“作图”“证明”和“计算”三类题目,其中前两类,本书基本上都提及了。关于“计算”,本书只给出了一些形状的面积或体积的相对关系,至于具体数字结果,前面我们讲过,还有待几十年之后阿基米德来完成。
本书的内容可以分为三大部分,简述如下。
第一部分,从第一卷到第六卷,讲述平面几何。
第一卷是开宗明义的首卷,十分重要。包括了公理、公设和平面几何的主要定义,陈述了平面几何的基本概念和结果。其核心命题是勾股定理及逆定理( I.46-48) 。前面各命题或多或少为之作了铺垫。欧几里得对勾股定理的证明十分简洁巧妙而有启发性。我们特别在此展示,读者在阅读时可仔细领会、欣赏。
如图3,欲证斜边上的正方形等于二直角边上的正方形之和。
图3 勾股定理的几何证明
证明如下:
三角形ABF=正方形ABFG的一半,
三角形BDM=矩形BDLM的一半,
三角形BCF=三角形ABD(两边夹一角相等) ,
三角形BCF=三角形ABF(同底等高) ,
三角形BDM=三角形ABD(同底等高) ,
∴ 三角形BDM=三角形ABF
∴ 正方形ABFG=矩形BDLM,
同理可证,正方形 ACKH=矩形 CELM,而正方形CBDE=矩形BDLM+矩形CELM,故正方形ABFG+正方形ACKH=正方形CBDE。
证毕。
第二卷有16个命题,它们其实是一些代数式的几何表示。代数是后世阿拉伯人发明的,古希腊人用几何图形来表示代数式并作证明,颇具匠心。
第三卷讨论圆和弓形及与之相关的弦、弧、角、切线、割线等,囊括了圆的几何学的主要内容。
第四卷系统地处理了直线图形与已知圆的相互内接、外切、内切与外接问题,并已对一般三角形、正方形、正五边形、正六边形和正十五边形获解。
第五卷讲的是比与比例。“比”是两个量之间的关系,“比例”是两个比之间的关系。这一卷囊括了已知的所有比或比例,如:正、反、合、分比、更比、换比、依次(首末)、摄动等。这些比与比例十分有用且并不困难,但需仔细阅读,搞清它们的定义和其间的区别。
第六卷讨论相似直线图形,即对应角相等的图形。还引入了黄金分割的概念和应用。
第二部分,从第七卷至第十卷,讲述数的理论。
第七卷引入了各种数的概念,例如奇数、偶数、素数、合数、面数、体数、平方数、立方数、完全数等等。以及对它们的计算,如乘法、求最大公约数(公度)、求最小公倍数、相似面数、相似体数等。特别是最大公约数的辗转相除法,一直沿用至今。这个著名的欧几里得算法是他的数论的基础。
第八卷与第九卷的内容紧密相连。主要讲“连比例数组”及其性质。“连比例数组”其实是各项都是自然数的一个几何级数,记住这一点,再参看我们构造的数字实例,就不难理解各个命题。
第十卷占全书篇幅的四分之一,第一个命题给出了十分重要的穷举法基础,其余讨论“可公度量”与“不可公度量”。记住,把这些量用指定为一单位的尺度量度得到一个数,就可以与现代数学中常用的有理数和无理数联系起来,从而减轻阅读的难度。
第三部分,从第十一卷至第十三卷,讲述立体几何。
第十一卷叙述立体几何基础,主要研究立体角和平行六面体,它们分别相当于平面几何中的三角形和平行四边形。
第十二卷使用穷举法讨论球、棱锥、圆柱和圆锥的体积,但只提到例如球的体积与直径立方成正比,并未真正定量。
第十三卷讲解了五种正多面体。
《几何原本》的内容十分丰富,定义很多,命题一个接一个,读者往往不易掌握其间的关联。我们对各卷内容做了详细的分类和说明,主要以图与表的形式,作为“内容提要”在每卷开头列出,以便读者对该卷的内容,先有一个大致的了解。