二、求解泊松方程得到引力势

前面我们使用高斯定理非常方便地求出了均匀球壳的引力场，然而这很可能会误导我们，仿佛高斯定理可以用于求解任意情况的引力分布。事实上，高斯定理只有在对称性良好的系统中才能帮助我们简化计算。对于一般的情况，我们需要通过求解泊松方程得到引力势ϕ，再通过梯度运算得到引力场。

为了展示怎么从泊松方程求出引力势，我们仍以均匀球壳为例进行求解。设均匀球壳的密度分布为ρ(r)，泊松方程为

根据球壳所具有的球对称性，我们知道质量密度ρ(r)也是球对称的。由于势场的梯度才能决定引力场，因此势场的基点可以自由选取。我们选取无穷远处为基点，换言之，ϕ(r)在无穷远处等于零。对泊松方程来说，我们选取的势能零点其实相当于一个边界条件，而这个边界条件也是球对称的，因此我们可以预料ϕ(r)是球对称的。这提示我们应该在球坐标下求解这个问题。为此，我们以球壳中心为原点建立球坐标(r,θ,φ)。在《张朝阳的物理课》第一卷中求解氢原子的薛定谔方程时，我们曾经推导了球坐标下的拉普拉斯算子的表达式：

将其代入泊松方程，并考虑到体系的球对称性，引力势与密度分布都只与r有关，我们得到

根据求解氢原子薛定谔方程的经验，我们令u(r)=rϕ(r)，那么有

所以

设球壳的内半径为R1，外半径为R2，那么ρ(r)在r>R2或0≤r<R1的范围内都为零，此时，上式可以简化为

这是一个非常简单的微分方程，直接积分即可解得u(r)=c1+c2r，这里的c1和c2为积分常数。根据u(r)与ϕ(r)的关系，我们得到

在前面我们已经规定无穷远处的势场为零，所以对于r>R2的区域，c2=0。另外，当r趋于无穷时，r远远大于R2，球壳近似成为一个质量为M的质点，ϕ(r)趋近于该质点的引力势-GM/r，这说明c1=-GM。于是当r>R2时，引力势的表达式为

当0≤r<R1时，若c1不等于零，那么引力势在r=0 处发散，这会导致球壳的泊松方程在r=0 处不成立，所以必须有c1=0。于是当0≤r<R1时，引力势为一个与空间坐标无关的常数：

ϕ(r)=c2

式中c2的具体数值，需要通过求解R1≤r≤R2区域内的引力势，然后利用连续性条件来确定，感兴趣的读者可以尝试一下。通过以上分析，我们可以知道ϕ(r)随r的变化关系如图1所示。

根据引力场与引力势的关系，我们可以得到球壳内外的引力场公式：

这个结果与前面使用高斯定理所得到的结果完全一致。