1.3.1 绝对误差
定义1-1 设x*是准确值x的一个近似值，则
称为近似值x*的绝对误差，简称误差。在不易混淆时，e（x*）简记为e*。
从定义1-1可以看出，e*可正可负，当e*＞0时，x*称为x的弱（不足）近似值；当e*＜0时，x*称为x的强（过剩）近似值。
的大小标志着x*的精度。一般地，在同一量的不同近似值中，
越小，x*的精度越高。e*是有量纲的。
一般情况下，无法准确知道绝对误差e*的大小，但根据具体测量或计算情况，可以事先估计出误差的绝对值不超过某个正数ε*，这个正数ε*叫作误差绝对值的上界或误差限。
定义1-2 如果
则称ε（x*）为x*近似x的绝对误差限，简称误差限（界），用它反映近似数的精度。在不易混淆时，ε（x*）简记为ε*。
从定义1-2可以看出，ε*是一个正数。又因为在任何情况下都有
即
x * -ε *≤x≤x*+ε*
这就表明准确值x在区间[x*-ε*,x*+ε*]内，用x=x*±ε*来表示近似数x*的精确度，或准确值所在的范围。同样有-ε*≤e*≤ε*，即
是在ε*的范围内，所以ε*应取得尽可能小。例如，x=4.3762816…，取近似数x*=4.376，则x-x*=0.0002816…，这时
同样
显然，0.3×10-3和0.29×10-3都是
的上界，都可以作为近似值x*的绝对误差限，即
ε * =0.3×10-3或ε*=0.29×10-3
由此可见，绝对误差限ε*不是唯一的，这是因为一个数的上界不唯一。但是ε*越小，x*近似真值x的程度越好，即x*的精度越高。在实际应用中，往往根据需要对准确值取近似值，按四舍五入原则取近似值是使用最广泛的取近似值的方法。
例1-1 用一把有毫米刻度的尺子测量桌子的长度，读出来的值x*=1235mm，这是桌子实际长度x的一个近似值，由尺子的精度可以知道，这个近似值的误差不会超过1/2mm。
这表明真值x在区间[1234.5，1235.5]内，写成
x=（1235±0.5）mm
这里绝对误差限ε*=0.5mm，即绝对误差限是末位的半个单位。
下面讨论“四舍五入”的绝对误差限。
设x为一实数，其十进制表示的标准形式（十进制规格化浮点数形式）是
x=±0.x1x2…×10m
其中，m是整数；x1，x2，…是0，1，…，9中的任一数，但x1≠0。若经过四舍五入保留n位数字，得到近似值
四舍时的绝对误差
五入时的绝对误差
由于此时xn+1≥5，所以
，有
所以，四舍五入得到的近似数的绝对误差限是其末位的半个单位，即
例1-2 圆周率π=3.14159…，用四舍五入取小数点后4位时，近似值为3.1416，此时m=1，n=5，m-n=1-5=-4，故绝对误差限
。同样，取小数点后2位时，近似值为3.14，其绝对误差限
。
对于用四舍五入取得的近似值，专门定义有效数字来描述它。