3.1.1　两个或多个0-1变量相乘

设x1和x2为两个0-1决策变量，若在数学规划模型的目标函数或者约束条件中出现二者相乘的项，即x1x2，该如何将其线性化？

实际上，x1x2等价于对两个0-1变量x1和x2做逻辑与运算。根据2.2.2节的介绍，x1x2的线性化方案如下：

其中，y表示x1x2的取值。上述约束可以保证下面的几种情形均成立：

·若x1=0，x2=0，则有-1≤y≤0，又因为y∈｛0，1｝，所以y=0=x1x2；

·若x1=1，x2=1，则有1≤y≤1，即y=1=x1x2；

·若x1或x2中恰好有一个为0，则有0≤y≤0，即y=0=x1x2。

综上，在所有可能的情形下，y的取值均等于x1x2，因此约束式（3.1）～约束式（3.4）是非线性项x1x2的等价线性化方案。

3个及以上的0-1变量相乘可以等价为对所有参与相乘运算的变量做逻辑与运算，其等价线性化方案为式（2.5）～式（2.7）。

【拓展】0-1变量乘以整数变量和整数变量乘以整数变量也可以进行等价线性化。例如，考虑表达式xy，其中x∈｛0，1｝，y∈Z，且0≤y≤5。引入5个0-1变量：zi∈｛0，1｝，∀i=1，…，5。令，则原式可以等价地转换为xy=xz1+xz2+xz3+xz4+xz5。转换后的表达式可以利用2个0-1变量相乘的线性化方法进行等价线性化。这样一来，0-1变量乘以整数变量就实现了等价线性化。整数变量乘以整数变量的等价线性化方法与此类似。