2.3 性能度量

对学习器的泛化性能进行评估，不仅需要有效可行的实验估计方法，还需要有衡量模型泛化能力的评价标准，这就是性能度量（performance measure）。性能度量反映了任务需求，在对比不同模型的能力时，使用不同的性能度量往往会导致不同的评判结果；这意味着模型的“好坏”是相对的，什么样的模型是好的，不仅取决于算法和数据，还决定于任务需求。

聚类的性能度量参见（第9章 聚类）。

在预测任务中，给定样例集D={（x1，y1），（x2，y2），...，（xm，ym）}，其中yi是示例xi的真实标记。要评估学习器f的性能，就要把学习器预测结果f（x）与真实标记y进行比较。

回归任务最常用的性能度量是“均方误差”（mean squared error）

更一般的，对于数据分布D和概率密度函数p（·），均方误差可描述为

本节下面主要介绍分类任务中常用的性能度量。

2.3.1 错误率与精度

本章开头提到了错误率和精度，这是分类任务中最常用的两种性能度量，既适用于二分类任务，也适用于多分类任务。错误率是分类错误的样本数占样本总数的比例，精度则是分类正确的样本数占样本总数的比例。对样例集D，分类错误率定义为

精度则定义为

更一般的，对于数据分布D和概率密度函数p（·），错误率与精度可分别描述为

2.3.2 查准率、查全率与F1

错误率和精度虽常用，但并不能满足所有任务需求。以西瓜问题为例，假定瓜农拉来一车西瓜，我们用训练好的模型对这些西瓜进行判别，显然，错误率衡量了有多少比例的瓜被判别错误。但是若我们关心的是“挑出的西瓜中有多少比例是好瓜”，或者“所有好瓜中有多少比例被挑了出来”，那么错误率显然就不够用了，这时需要使用其他的性能度量。

查准率亦称“准确率”，查全率亦称“召回率”。

类似的需求在信息检索、Web搜索等应用中经常出现，例如在信息检索中，我们经常会关心“检索出的信息中有多少比例是用户感兴趣的”“用户感兴趣的信息中有多少被检索出来了”。“查准率”（precision）与“查全率”（recall）是更为适用于此类需求的性能度量。

对于二分类问题，可将样例根据其真实类别与学习器预测类别的组合划分为真正例（true positive）、假正例（false positive）、真反例（true negative）、假反例（false negative）四种情形，令TP、FP、TN、FN分别表示其对应的样例数，则显然有TP+FP+TN+FN=样例总数。分类结果的“混淆矩阵”（confusion matrix）如表2.1所示。

查准率P与查全率R分别定义为

查准率和查全率是一对矛盾的度量。一般来说，查准率高时，查全率往往偏低；而查全率高时，查准率往往偏低。例如，若希望将好瓜尽可能多地选出来，则可通过增加选瓜的数量来实现，如果将所有西瓜都选上，那么所有的好瓜也必然都被选上了，但这样查准率就会较低； 若希望选出的瓜中好瓜比例尽可能高，则可只挑选最有把握的瓜，但这样就难免会漏掉不少好瓜，使得查全率较低。通常只有在一些简单任务中，才可能使查全率和查准率都很高。

以信息检索应用为例，逐条向用户反馈其可能感兴趣的信息，即可计算出查全率、查准率。

亦称“PR曲线”或“PR图”。

在很多情形下，我们可根据学习器的预测结果对样例进行排序，排在前面的是学习器认为“最可能”是正例的样本，排在最后的则是学习器认为“最不可能”是正例的样本。按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，则每次可以计算出当前的查全率、查准率。以查准率为纵轴、查全率为横轴作图，就得到了查准率-查全率曲线，简称“P-R曲线”，显示该曲线的图称为“P-R图”。图2.3给出了一个示意图。

为绘图方便和美观，示意图显示出单调平滑曲线；但现实任务中的P-R曲线常是非单调、不平滑的，在很多局部有上下波动。

P-R图直观地显示出学习器在样本总体上的查全率、查准率。在进行比较时，若一个学习器的P-R曲线被另一个学习器的曲线完全“包住”，则可断言后者的性能优于前者，例如图2.3中学习器A的性能优于学习器C；如果两个学习器的P-R曲线发生了交叉，例如图2.3中的A与B，则难以一般性地断言两者孰优孰劣，只能在具体的查准率或查全率条件下进行比较。然而，在很多情形下，人们往往仍希望把学习器A与B比出个高低。这时一个比较合理的判据是比较P-R曲线下面积的大小，它在一定程度上表征了学习器在查准率和查全率上取得相对“双高”的比例。但这个值不太容易估算，因此，人们设计了一些综合考虑查准率、查全率的性能度量。

“平衡点”（Break-Even Point，简称BEP）就是这样一个度量，它是“查准率=查全率”时的取值，例如图2.3中学习器C的BEP是0.64，而基于BEP的比较，可认为学习器A优于B。

但BEP还是过于简化了些，更常用的是F1度量：

F1是基于查准率与查全率的调和平均（harmonicmean）定义的：

在一些应用中，对查准率和查全率的重视程度有所不同。例如在商品推荐系统中，为了尽可能少打扰用户，更希望推荐内容确是用户感兴趣的，此时查准率更重要；而在逃犯信息检索系统中，更希望尽可能少漏掉逃犯，此时查全率更重要。F1度量的一般形式――Fβ，能让我们表达出对查准率/查全率的不同偏好，它定义为

Fβ则是加权调和平均：

与算术平均和几何平均相比，调和平均更重视较小值。

其中β＞0度量了查全率对查准率的相对重要性[Van Rijsbergen，1979]。β=1时退化为标准的F1；β＞1时查全率有更大影响；β＜1时查准率有更大影响。

很多时候我们有多个二分类混淆矩阵，例如进行多次训练/测试，每次得到一个混淆矩阵；或是在多个数据集上进行训练/测试，希望估计算法的“全局”性能；甚或是执行多分类任务，每两两类别的组合都对应一个混淆矩阵；总之，我们希望在n个二分类混淆矩阵上综合考察查准率和查全率。

一种直接的做法是先在各混淆矩阵上分别计算出查准率和查全率，记为（P1，R1），（P2，R2），...，（Pn，Rn），再计算平均值，这样就得到“宏查准率”（macro-P）、“宏查全率”（macro-R），以及相应的“宏F1”（macro-F1）：

还可先将各混淆矩阵的对应元素进行平均，得到TP、FP、TN、FN的平均值，分别记为TP、FP、TN、FN，再基于这些平均值计算出“微查准率”（micro-P）、“微查全率”（micro-R）和“微F1”（micro-F1）：

2.3.3 ROC与AUC

神经网络参见（第5章 神经网络）。

很多学习器是为测试样本产生一个实值或概率预测，然后将这个预测值与一个分类阈值（threshold）进行比较，若大于阈值则分为正类，否则为反类。例如，神经网络在一般情形下是对每个测试样本预测出一个[0.0，1.0]之间的实值，然后将这个值与0.5进行比较，大于0.5则判为正例，否则为反例。这个实值或概率预测结果的好坏，直接决定了学习器的泛化能力。实际上，根据这个实值或概率预测结果，我们可将测试样本进行排序，“最可能”是正例的排在最前面，“最不可能”是正例的排在最后面。这样，分类过程就相当于在这个排序中以某个“截断点”（cut point）将样本分为两部分，前一部分判作正例，后一部分则判作反例。

在不同的应用任务中，我们可根据任务需求来采用不同的截断点，例如若我们更重视“查准率”，则可选择排序中靠前的位置进行截断； 若更重视“查全率”，则可选择靠后的位置进行截断。因此，排序本身的质量好坏，体现了综合考虑学习器在不同任务下的“期望泛化性能”的好坏，或者说，“一般情况下”泛化性能的好坏。ROC曲线则是从这个角度出发来研究学习器泛化性能的有力工具。

ROC全称是“受试者工作特征”（Receiver Operating Characteristic）曲线，它源于“二战”中用于敌机检测的雷达信号分析技术，二十世纪六七十年代开始被用于一些心理学、医学检测应用中，此后被引入机器学习领域[Spackman, 1989]。与2.3.2节中介绍的P-R曲线相似，我们根据学习器的预测结果对样例进行排序，按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次计算出两个重要量的值，分别以它们为横、纵坐标作图，就得到了“ROC曲线”。与P-R曲线使用查准率、查全率为纵、横轴不同，ROC曲线的纵轴是“真正例率”（True Positive Rate，简称TPR），横轴是“假正例率”（False Positive Rate，简称FPR），基于表2.1中的符号，两者分别定义为

显示ROC曲线的图称为“ROC图”。图2.4（a）给出了一个示意图，显然，对角线对应于“随机猜测”模型，而点（0，1）则对应于将所有正例排在所有反例之前的“理想模型”。

基于有限个测试样例绘制P-R图时有同样问题。本书到这里才介绍近似曲线的绘制，是为了便于下面介绍AUC的计算。

现实任务中通常是利用有限个测试样例来绘制ROC图，此时仅能获得有限个（真正例率，假正例率）坐标对，无法产生图2.4（a）中的光滑ROC曲线，只能绘制出如图2.4（b）所示的近似ROC 曲线。绘图过程很简单：给定m+个正例和m-个反例，根据学习器预测结果对样例进行排序，然后把分类阈值设为最大，即把所有样例均预测为反例，此时真正例率和假正例率均为0，在坐标（0，0）处标记一个点。然后，将分类阈值依次设为每个样例的预测值，即依次将每个样例划分为正例。设前一个标记点坐标为（x，y），当前若为真正例，则对应标记点的坐标为；当前若为假正例，则对应标记点的坐标为，然后用线段连接相邻点即得。

进行学习器的比较时，与P-R图相似，若一个学习器的ROC 曲线被另一个学习器的曲线完全“包住”，则可断言后者的性能优于前者； 若两个学习器的ROC曲线发生交叉，则难以一般性地断言两者孰优孰劣。此时如果一定要进行比较，则较为合理的判据是比较ROC 曲线下的面积，即AUC（Area UnderROC Curve），如图2.4所示。

从定义可知，AUC可通过对ROC曲线下各部分的面积求和而得。假定ROC曲线是由坐标为{（x1，y1），（x2，y2），...，（xm，ym）}的点按序连接而形成（x1=0，xm=1），参见图2.4（b），则AUC可估算为

形式化地看，AUC考虑的是样本预测的排序质量，因此它与排序误差有紧密联系。给定m+个正例和m-个反例，令D+和D-分别表示正、反例集合，则排序“损失”（loss）定义为

即考虑每一对正、反例，若正例的预测值小于反例，则记一个“罚分”，若相等，则记0.5个“罚分”。容易看出，rank对应的是ROC 曲线之上的面积：若一个正例在ROC 曲线上对应标记点的坐标为（x，y），则x恰是排序在其之前的反例所占的比例，即假正例率。因此有

AUC=1−rank。　（2.22）

2.3.4 代价敏感错误率与代价曲线

在现实任务中常会遇到这样的情况：不同类型的错误所造成的后果不同。

例如在医疗诊断中，错误地把患者诊断为健康人与错误地把健康人诊断为患者，看起来都是犯了“一次错误”，但后者的影响是增加了进一步检查的麻烦，前者的后果却可能是丧失了拯救生命的最佳时机； 再如，门禁系统错误地把可通行人员拦在门外，将使得用户体验不佳，但错误地把陌生人放进门内，则会造成严重的安全事故。为权衡不同类型错误所造成的不同损失，可为错误赋予“非均等代价”（unequal cost）。

一般情况下，重要的是代价比值而非绝对值，例如cost01：cost10=5：1与50：10所起效果相当。

以二分类任务为例，我们可根据任务的领域知识设定一个“代价矩阵”（cost matrix），如表2.2所示，其中costij表示将第i类样本预测为第j类样本的代价。一般来说，costij=0；若将第0类判别为第1类所造成的损失更则cost01＞cost10；损失程度相差越大，cost01与cost10值的差别越大。

回顾前面介绍的一些性能度量可看出，它们大都隐式地假设了均等代价，例如式（2.4）所定义的错误率是直接计算“错误次数”，并没有考虑不同错误会造成不同的后果。在非均等代价下，我们所希望的不再是简单地最小化错误次数，而是希望最小化“总体代价”（total cost）。若将表2.2中的第0类作为正类、第1类作为反类，令D+与D-分别代表样例集D的正例子集和反例子集，则“代价敏感”（cost-sensitive）错误率为

类似的，可给出基于分布定义的代价敏感错误率，以及其他一些性能度量如精度的代价敏感版本。若令costij中的i、j取值不限于0、1，则可定义出多分类任务的代价敏感性能度量。

参见习题（2.7 试证明任意一条ROC曲线都有一条代价曲线与之对应，反之亦然。）。

在非均等代价下，ROC曲线不能直接反映出学习器的期望总体代价，而“代价曲线”（cost curve）则可达到该目的。代价曲线图的横轴是取值为[0，1]的正例概率代价

“规范化”（normaliza-tion）是将不同变化范围的值映射到相同的固定范围中，常见的是[0，1]，此时亦称“归一化”。参见习题（2.8 Min-max规范化和𝑧-score规范化是两种常用的规范化方法。令x和x′分别表示变量在规范化前后的取值，相应的，令xmin和xmax表示规范化前的最小值和最大值，x′min和x′max表示规范化后的最小值和最大值，和σx分别表示规范化前的均值和标准差，则min-max规范化、𝑧-score规范化分别如式（2.43）和（2.44）所示。试析二者的优缺点。）。

其中p是样例为正例的概率；纵轴是取值为[0，1]的归一化代价

其中FPR是式（2.19）定义的假正例率，FNR=1-TPR是假反例率。代价曲线的绘制很简单：ROC曲线上每一点对应了代价平面上的一条线段，设ROC曲线上点的坐标为（FPR，TPR），则可相应计算出FNR，然后在代价平面上绘制一条从（0，FPR）到（1，FNR）的线段，线段下的面积即表示了该条件下的期望总体代价；如此将ROC曲线上的每个点转化为代价平面上的一条线段，然后取所有线段的下界，围成的面积即为在所有条件下学习器的期望总体代价，如图2.5所示。