1.5 香农公式
一般来讲，通信系统的设计会受到资源限制，因为系统允许的信道带宽和发射功率都是有限的。另外，由于信道噪声的存在，会给信号的接收带来不利影响。在数字通信系统中，可靠性通常用接收机输出端测得的误比特率（Bit Error Rate，BER）来衡量，BER越小，系统的可靠性就越好。在这种情况下，就会自然而然考虑一个问题——能否设计一个通信系统，使它在噪声信道下达到BER为0呢？
理想情况下，答案是肯定的。香农信道容量定理指出，对于带宽有限、平均功率有限的高斯白噪声连续信道，其信道容量C为
式（1.15）通常被称为香农公式。信道容量定义为通过信道无差错传输信息的最大速率，单位为bit/s。式（1.15）中B为信道带宽，单位为Hz；S是信号平均功率，单位为W；N是噪声功率，单位为W。信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）为接收端信号与噪声的平均功率之比，为无量纲单位。式（1.15）的详细证明见第10章。
例1.1 若双绞线为高斯白噪声连续信道，其带宽为4kHz，SNR=30dB，计算语音信号在此信道中传输的最大速率。
解 由于B=4kHz，SNR=30dB，则
最早使用的拨号上网方式是通过调制解调器实现的。调制解调器的标称速度为56kbit/s，但实际网络传输的速度都远低于56kbit/s，原因就在于支持语音信号传输的线路信道容量只有40kbit/s。
【本例终】
若噪声的双边功率谱密度为N0/2，则噪声的功率等于N0B，这时香农公式变换为
由此可知，信道容量C和信道带宽B、信号功率S和噪声功率谱密度N0有关。
（1）增加信号功率S或减小噪声功率谱密度N0都可以使信道容量增加，即当S→∞，或N0→0时，C→∞。但是在通信系统当中，信号功率S不可能为无穷大，噪声功率谱密度N0也不可能等于0，所以信道容量不可能为无穷大。
（2）当B→∞，则有
式（1.19）表明，若带宽趋近于无穷大，信道容量是不会趋近于无穷大的，而只会是S/N0的1.44倍。
香农信道容量公式提供了在高斯白噪声连续信道下，理论上能达到的无差错传输速率的上限。对于给定的信道带宽B和接收SNR，即使存在信道噪声，消息信号也可以无差错地通过通信系统。遗憾的是，香农信道容量定理没有给出实现信道容量的方法，但是这一理论为实际系统的设计提供了方向，其主要意义有以下几点。
• 在实际噪声信道中，信号速率R通常要小于信道容量C，可以用η=R/C来衡量所研究的数字通信系统的有效性，η越接近1，系统的有效性越好。
• 香农公式提供了在信道带宽B和接收SNR之间进行权衡的理论基础。对于给定的信道容量，信道带宽B和接收SNR存在互换关系，即若减小带宽则必须增大发射功率，若信道带宽较大则可以用较小的功率发送，因此宽带系统有较好的抗干扰性。如何平衡B和SNR之间的关系，则取决于实际系统的需要。对于功率受限的系统，倾向于增加带宽换取信噪比；对于带宽受限的信道，则可采取增加发射功率及高阶调制的方法提高系统的频带利用率。
• 香农公式给出了比较通信系统抗噪声性能的理想化框架。