1.6 向量误差修正模型的协整秩

在估计VECM模型的参数之前，必须选择基础VAR中的滞后数、趋势识别及协整方程的数量。目前识别协整方程数量r的方法主要有三种，第一种是迹统计方法，第二种是最大特征值统计方法，第三种使用最小化信息准则选择法。

这三种方法都基于协整VECM的Johansen最大似然（ML）估计量，基本的VECM可以定义为

其中，y是（K×1）的一阶单整序列，α和β是（K×r）的秩为r的参数矩阵，其中r＜K。Г₁，…，Г_p是（K×K）的系数矩阵，并且ε_t是一个（K×1）的正态分布误差向量，满足序列不相关和同方差假设。

以Anderson（1951）的工作为基础，Johansen（1995）推导了用于推断参数r的最大似然估计量和两个似然比（LR）检验。这些似然比检验被称为迹统计量和最大特征值统计量，因为对数似然可以写成一个矩阵行列式的对数加上另一个矩阵特征值的简单函数。

设λ₁，…，λ_K为K个特征值，用于计算最佳情况下的对数似然值。此外，假设这些特征值从最大的λ₁到最小的λ_K。如果存在r＜K个协整方程，此时α和β的秩为r，并且特征值λ_r+1，…，λ_K均为0。

1.6.1 迹统计量检验

设系数矩阵特征根为λ₁＞λ₂＞…＞λ_k，有r个最大特征根可得到r个协整向量，而对于其余k-r个非协整组合来说，λ_r+1，…，λ_k应该为0，于是可设原假设为H_r0: λ_r+1=0；备择假设为H_r1:λ_r+1＞0。与之相应的统计量为

η_r称为特征值迹统计量，服从Johansen分布。当r=0，1，…，k-1时可以得到一系列统计量，我们依次检验这一系列统计量的显著性。

当η₀不显著时，即η₀值小于某一显著性水平下的Johansen分布临界值，不能拒绝H₀₀，说明有k个单位根，0个协整向量，即不存在协整关系；当η₀显著时，拒绝H₀₀而接受H₁₀，表明至少有1个协整向量，必须接着检验η₁的显著性。

同理，当η₁不显著时，则不能拒绝H₁₀，说明存在1个协整向量；当η₁显著时，拒绝H₁₀而接受H₂₀，表明至少有2个协整向量，必须接着检验η₂的显著性。以此类推，进行依次检验，直到出现第一个不显著的H_r0，说明存在r个协整向量。

1.6.2 最大特征值检验

对于VECM的协整秩，另外一个类似的检验方法是最大特征值检验。原假设为H_r0:λ_r+1=0；备择假设为H_r1:λ_r+1＞0，其中r=0，1，…，k-1。检验的统计量是基于最大特征值构造的：

式中，ξ_r称为最大特征值统计量，其检验过程是从下往上进行检验。首先，检验统计量ξ₀，如果ξ₀小于临界值，则接受原假设，表明最大特征根为0，无协整向量；其次，如果ξ₀大于临界值，则拒绝原假设H₀₀，接受H₁₀，表明至少有1个协整向量。同理，如果ξ₁显著，则拒绝H₁₀，接受至少有2个协整向量的备择假设H₁₁；整个过程依此类推，直到接受H_r0，共有r个协整向量。

VECM模型协整秩检验的菜单操作：

Statistics＞Multivariate time series＞Cointegrating rank of a VECM

Stata命令语法：

vecrank depvarlist[if][in][，options]

其中，options有以下设定：

例1.26 多重迹检验