1.11 VAR/VEC模型预测
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1.11.1 预测值计算
1. var和svar后的预测
带有内生变量yt和外生变量xt的VAR可以写成：
其中，t=1，…，T，yt=（y1t，…，yKt）′是一个K×1的随机向量，Ai是固定的K×K参数矩阵，xt是一个M×1的外生变量向量，B是一个K×M的系数矩阵，v是一个固定参数的K×1矢量，以及ut被认为是白噪声，也就是说，
fcast compute命令将动态地预测矢量yt中的变量，条件是内生变量的p初始值和任何外生的xt。采用Lütkepohl（2005，402）的符号来适应目前的情况，以xt为条件对yt+h的最佳h步预测是
如果没有外生变量，式（1-91）变为
当没有外生变量时，fcast compute可以计算出渐近的置信界限。如Lütkepohl（2005，204-205）所示，预测误差的协方差矩阵的渐近估计值为
其中，
式中，Σ是残差项的协方差矩阵的估计，Σβ是VAR中系数的估计的VCE。式（1-91）中的各项是通用的，足以处理对VAR（p）中的系数施加约束的情况。
式（1-95）是由两个项组成的。Σy（h）是预测的估计平均平方误差（MSE）。
估计的是由于未见的创新引起的预测误差。T-1Ω（h）估计的是由于使用估计的系数而不是真实的系数而导致的预测误差。随着样本量的增加，关于系数估计的不确定性减少，T-1Ω（h）归于零。
如果yt是正态分布，那么对提前h个时期yt的第k个分量的预测的渐近（1-α）100%区间的界限为
其中，
是
的第k个对角线元素。
指定bs选项会导致使用自举残差通过模拟计算标准误差。var和svar都是包含VAR系数的估计量，这些估计量以数据中内生变量的第一次观察为条件。同样地，这些算法以数据中内生变量的首次观察为条件。然而，基于模拟的标准误差估计也取决于估计的系数。
渐近标准误差不以系数估计为条件，因为式（1-95）右侧的第二项说明了使用估计参数产生的不确定性。
对于一个有R次重复的模拟，该方法使用以下算法：
（1）拟合模型并保存估计的系数。
（2）使用估计的系数来计算残差。
（3）重复步骤①～③R次。
①从残差中抽取一个大小为T+h的简单随机样本。当抽取第t个观察值时，所有的K个残差都被选中，保留残差之间的任何同期相关性。
②使用抽出的残差、内生变量的p初始值、任何外生变量和估计的系数来构建一个新的样本数据集。
③保存自举数据集中h个预测期的模拟内生变量。
（4）对于每个内生变量和每个预测期，模拟标准误差是R模拟预测的估计标准误差。默认情况下，（1-α）100%的上界和下界是使用基于模拟的标准误差估计值和正态性假设估计的。如果指定了bscentile选项，R模拟预测的上界和下界的样本百分位数被用于置信区间的上界和下界。
如果指定了bsp选项，则使用参数化的模拟算法。具体来说，除了用①（bsp）代替①之外，其他都和上面一样。①（bsp）为从具有协方差矩阵Σ的多变量正态分布中抽取T+h个观测值。
上面的算法假设h个预测期是在T个观测值的原始样本之后。如果h个预测期位于原始样本内，较小的模拟数据集就足够了。
2. vec后的动态预测
fcast compute命令使用先前的动态预测作为后来动态预测的输入。
根据Lütkepohl（2005），fcast compute使用
其中，Φi是脉冲响应函数的估计矩阵，T是样本中的观察数，d是自由度数，Ω是估计的交叉方差矩阵。在步骤h的估计标准误差是Σŷ（h）的对角线元素的平方根。
根据Lütkepohl（2005），估计的预测误差方差不考虑参数的不确定性。当样本量变得无限大时，参数不确定性的重要性就会减弱到零。
菜单操作：
Statistics＞Multivariate time series＞VEC/VAR forecasts＞Compute forecasts（required for graph）
语法格式：
After var and svar
fcast compute prefix[，options1]
After vec
fcast compute prefix[，options2]
例1.39 VAR模型预测
例1.40 VAR模型的拟合预测
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1.11.2 预测值绘图
菜单操作：
Statistics＞Multivariate time series＞VEC/VAR forecasts＞Graph forecasts
语法格式：
fcast graph varlist[if][in][，options]
例1.41 协整VEC预测
在这个例子中，我们使用协整VEC对密苏里州、印第安纳州、肯塔基州和伊利诺伊州的失业率进行建模，并将预测结果与6个月的搁置样本做对比。
（1）使用数据。
.use https://www.stata-press.com/data/r17/urates
（2）估计VEC模型。
.vec missouri indiana kentucky illinois if t＜tm（2003m7），trend（rconstant）rank（2）lags（4）
（输出省略）
（3）计算六步动态预测值。
.fcast compute m1_，step（6）
（4）绘图。
.fcast graph m1_missouri m1_indiana m1_kentucky m1_illinois，observed
因为我们预测的密苏里州和印第安纳州的失业率的95%置信区间并不包含所有的观察值，所以该模型不能可靠地预测这些失业率。