CHAPTER 1
第1章 多元时间序列
1.1 多元GARCH模型
多元GARCH（以下简称MGARCH）模型允许因变量的条件协方差矩阵遵循灵活的动态结构，并允许条件均值遵循向量自回归（VAR）结构。
对于大多数问题，通用的MGARCH模型过于灵活。文献中有许多受限的MGARCH模型，因为没有参数化总是在灵活性和简约性之间提供最佳权衡。
MGARCH实现了四种常用的参数化模型：对角向量（DVECH）模型、恒定条件相关（CCC）模型、动态条件相关（DCC）模型和时变条件相关（VCC）模型。
本节将围绕MGARCH中实现的模型进行介绍。首先给出了一般的MGARCH模型的形式化定义，以便进行模型比较。一般的MGARCH模型为
其中，yt为m×1维因变量向量；C为m×k维参数矩阵；Xt为k×1维自变量向量，其中可能包含yt的滞后；
是时变条件协方差矩阵Ht的Cholesky因子；vt是零均值、单位方差和独立同分布（i.i.d.）的m×1维向量。
在一般的MGARCH模型中，Ht是一元GARCH模型的矩阵推广。例如，在具有一个自回归条件异方差（ARCH）项和一个GARCH项的一般MGARCH模型中
其中，函数vech将对称矩阵中主对角线上或主对角线下的唯一元素堆叠成一个向量，s是参数向量，A和B是参数的一致矩阵。由于该模型使用函数vech来提取和建模Ht的独特元素，因此也被称为VECH模型。
因为它是一个条件协方差矩阵，所以Ht必须是正定的。式（1-2）可表明s、A和B中的参数不是唯一确定的，必须对s、A和B施加进一步的限制，以确保Ht对所有t都是正定的。
多元GARCH模型的随机项可以假设服从正态分布或t分布，参数估计方法一般使用最大似然估计法（ML）和准最大似然估计法（QML）。
1.1.1 DVECH-MGARCH模型
Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）通过将A和B限制为对角，推导出了对角向量多元GARCH（DVECH-MGARCH）模型。虽然DVECH模型比一般模型要简单得多，但它只能处理几个序列，因为参数的数量随序列的数量呈二次增长。例如，在Ht的DVECH（1，1）模型中有3m（m+1）/2个参数。
尽管有大量参数，对角线结构意味着每个条件方差和每个条件协方差取决于其自身的过去，而不是其他条件方差和条件协方差的过去。形式上，在DVECH（1，1）模型中，Ht的每个元素都可以表示为
参数估计可能很困难，因为它要求每个t的Ht是正定的。每个t的Ht是正定的要求对非对角元素施加了复杂的限制。
Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）开发的一般VECH-MGARCH模型可以写成
其中，yt为m×1维因变量向量；C为m×k维参数矩阵；Xt为k×1维自变量向量，其中可能包含yt的滞后项；
是时变条件协方差矩阵Ht的Cholesky因子；vt是零均值、单位方差和i.i.d.的m×1维向量；ht=vech（Ht），例如，函数vech将对称矩阵中主对角线下的元素堆叠成列向量，
；s是一个m（m+1）/2×1维的参数向量；Ai和Bj为{m（m+1）/2}×{m（m+1）/2}维参数矩阵。
Bollerslev、Engle和Wooldridge（1988）认为式（1-4）中的一般VECH-MGARCH模型对数据太灵活，因此他们建议将矩阵Ai和Bj限制为对角矩阵。正是由于这种限制，该模型被称为对角向量模型。DVECH-MGARCH模型也可以将式（1-4）替换为
其中，S、Ai和Bj为m×m维参数矩阵；⊙为矩阵点乘，即两个矩阵的每个对应元素逐个相乘。
DVECH-MGARCH模型的Stata命令如下。
其菜单操作为：
Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH
语法为：
mgarch dvech eq[eq…eq][if][in][，options]
其中，options（选择项）有以下设定：
例1.1 具有公共协变量的模型
例1.2 具有因方程不同而不同的协变量的模型
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例1.3 带约束的模型
在这里，我们分析了一些虚构的每周数据，关于在Acme公司和Anvil公司的工厂中发现的坏部件的百分比。我们将这些级别建模为一阶自回归过程。这些公司的适应性管理风格导致差异遵循一个DVECH-MGARCH过程，带有一个ARCH项和一个GARCH项。此外，我们对这两家公司施加了ARCH和GARCH系数相同的约束。
（1）下载数据。
.use https://www.stata-press.com/data/r17/acme
（2）施加约束。
.constraint 1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2
.constraint 2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2
（3）DVECH-MGARCH模型估计。
.mgarch dvech（acme=L.acme）（anvil=L.anvil），arch（1）garch（1）constraints（1 2）
我们可以通过拟合无约束模型并执行Wald检验或似然比检验来检验约束性。结果表明，我们可能会进一步限制条件方差的时不变性，使其在公司间保持相同。
例1.4 带有GARCH项的模型
例1.5 动态预测
在例1.3中，我们获得了Acme公司和Anvil公司虚构小部件数据的动态预测。
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（1）下载数据。
.use https://www.stata-press.com/data/r17/acme
（2）施加约束。
.constraint 1[L.ARCH]1_1=[L.ARCH]2_2
.constraint 2[L.GARCH]1_1=[L.GARCH]2_2
（3）DVECH-MGARCH模型估计。
.mgarch dvech（acme=L.acme）（anvil=L.anvil），arch（1）garch（1）constraints（1 2）
（4）扩展数据。
.tsappend，add（1_2）
（5）动态预测。
.predict H*，variance dynamic（tw（1998w26））
（6）画图。
.tsline H_acme_acme H_anvil_anvil if t＞=tw（1995w25），legend（rows（2））
该图显示，Acme和Anvil公司的条件方差的样本内预测是相似的，动态预测收敛到相似的水平。该图还表明，ARCH和GARCH参数会导致显著的时变波动。acme的预测条件方差范围是从略高于2的低点到高于10的高点。
例1.6 预测样本内条件方差
1.1.2 CCC-MGARCH模型
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CC（条件相关）模型使用一元GARCH模型的非线性组合来表示条件协方差。在每个CC模型中，条件协方差矩阵通过构造是正定的，并且结构简单，便于参数估计。随着时间序列数量的增加，CC模型的参数增长率低于DVECH模型。
在CC模型中，Ht分解为条件相关性矩阵Rt和条件方差对角矩阵Dt：
其中，每个条件方差遵循一个一元GARCH过程，Rt的参数化因模型而异。
式（1-6）意味着
其中，
由一元GARCH过程建模。式（1-7）强调了CC模型使用一元GARCH模型的非线性组合来表示条件协方差，并且ρij，t模型中的参数描述了方程i和j中的误差一起移动的程度。
MGARCH中实现的三个CC模型在参数化Rt的方式上有所不同。
Bollerslev（1990）提出了一个CC-MGARCH模型[（见式（1-8）]，其中相关矩阵是时不变的。正是由于这个原因，该模型被称为CCC（恒定条件相关）-MGARCH模型。将Rt限制为常数矩阵可以减少参数数量并简化估计，但在许多经验应用中可能过于严格。
其中，yt为m×1维因变量向量；C为m×k维参数矩阵；Xt为k×1维自变量向量，其中可能包含yt的滞后；
是时变条件协方差矩阵Ht的Cholesky因子；vt是零均值、单位方差和i.i.d.的m×1维向量；Dt为条件方差的对角矩阵，
上面这个矩阵中，
，默认情况下，
，当het（）选项被设定，γt为1×p维参数向量，zi为p×1维包含常数项的自变量向量；αj和βj分别表示ARCH项和GARCH项系数；
CCC-MGARCH模型的Stata命令如下。
其菜单操作为：
Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH
语法为：
mgarch ccc eq[eq... eq][if][in][，options]
每个eq有自己的形式：
（depvars=[indepvars][，eqoptions]）
例1.7 CCC-MGARCH模型的Stata实现
例1.8 具有因方程不同而不同的协变量的模型
例1.9 带约束的模型
例1.10 带有GARCH项的模型
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例1.11 动态预测
在本例中，我们获得了例1.8中建模的丰田、日产和本田股票收益率的动态预测。在下面的输出中，我们重新估计了模型的参数，使用tsappend扩展数据，并使用predict获得样本中的提前一步预测和收益条件方差的动态预测。我们将下面的预测用图形表示出来。
（1）下载数据。
.use https://www.stata-press.com/data/r17/stocks
（2）CCC-MGARCH模型估计。
.quietly mgarch ccc（toyota nissan=，noconstant）
＞（honda=L.nissan，noconstant），arch（1）garch（1）
（3）扩展数据。
.tsappend，add（50）
（4）预测。
.predict H*，variance dynamic（2016）
（5）画图来表示预测的数据。
.tsline H_toyota_toyota H_nissan_nissan H_honda_honda if t＞1600，legend（rows（3））xline（2015）
①Variance prediction（toyota，toyota），dynamic（2016）
②Variance prediction（nissan，nissan），dynamic（2016）
③Variance prediction（honda，honda），dynamic（2016）
1.1.3 DCC-MGARCH模型
在MGARCH模型的条件相关族中，Ht的对角元素被建模为一元GARCH模型，而不是对角元素被建模为对角项的非线性函数。在动态条件相关多元GARCH（DCC-MGARCH）模型中，
由于ρij，t随时间变化，因此该模型被称为DCC-MGARCH模型。
Engle（2002）提出的DCC-MGARCH模型可以写成
其中，yt为m×1维因变量向量；C为m×k维参数矩阵；Xt为k×1维自变量向量，其中可能包含yt的滞后；
是时变条件协方差矩阵Ht的Cholesky因子；vt是零均值、单位方差和i.i.d.的m×1维向量；Dt为条件方差的对角矩阵，
上面的矩阵中，
，默认情况下，
，当het（）选项被设定，γt为1×p维参数向量，zi为p×1维包含常数项的自变量向量；αj和βj分别表示ARCH项和GARCH项系数；Rt为式（1-10）条件相关矩阵，
；0≤λ1+λ2＜1。
其菜单操作为
Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH
DCC-MGARCH模型的Stata命令为
mgarch dcc eq[eq... eq][if][in][，options]
每个eq有自己的形式：
（depvars=[indepvars][，eqoptions]）
（续）
例1.12 具有公共协变量的模型
例1.13 具有因方程不同而不同的协变量的模型
例1.14 带约束的模型
例1.15 带有GARCH项的模型
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1.1.4 VCC-MGARCH模型
在MGARCH模型的条件相关族中，Ht的对角元素被建模为一元GARCH模型，而不是对角元素被建模为对角项的非线性函数。在时变条件相关多元GARCH（VCC-MGARCH）模型中，
式中，对角元素hii，t和hjj，t服从一元GARCH过程，ρij，t为设定的时变的动态过程。
由于ρij，t随时间变化，该模型被称为VCC-MGARCH模型。
VCC-MGARCH模型可以写成
其中，yt为m×1维因变量向量；C为m×k维参数矩阵；Xt为k×1维自变量向量，其中可能包含yt的滞后；
是时变条件协方差矩阵Ht的Cholesky因子；vt是零均值、单位方差和i.i.d.的m×1维向量；Dt为条件方差的对角矩阵，
上面的矩阵中，
，默认情况下，
，当het（）选项被设定，γt为1×p维参数向量，zi为p×1维包含常数项的自变量向量；αj和βj分别表示ARCH项和GARCH项系数；Rt为式（1-12）条件相关矩阵，
VCC-MGARCH模型的Stata命令如下。
其菜单操作为
Statistics＞Multivariate time series＞Multivariate GARCH
语法为
mgarch vcc eq[eq…eq][if][in][，options]
每个eq有自己的形式：
（depvars=[indepvars][，eqoptions]）
其中，options的选项如下：
（续）
例1.16 VCC-MGARCH过程
例1.17 具有因方程不同而不同的协变量的模型
例1.18 带约束的模型
例1.19 带有GARCH项的模型
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