1.2 误差修正模型

在自回归移动平均（ARMA）模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳后建立模型，这就是差分自回归移动平均（ARIMA）模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。

1987年Engle和Granger提出的协整（co-integration）理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合有可能是平稳序列。这种平稳的线性组合被称为协整方程，并且可解释为变量之间的长期稳定的均衡关系。例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具有协整关系。如果它们不具有协整关系，那么长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。

1.2.1 协整关系

假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远来看，这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整可被看作这种均衡关系性质的统计表示。

协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随时间变化的性质。

下面给出协整的定义：

k维向量Y=（y₁，y₂，…，y_k）的分量间被称为d，b阶协整，记为Y～CI（d，b），如果满足：

（1）y₁，y₂，…，y_k都是d阶单整的，即y_i～I（d），i=1，2，…，k要求Y的每个分量y_i～I（d）；

（2）存在非零向量β=（β₁，β₂，…，β_k），使得β′Y～I（d-b），0＜b≤d。

那么Y是协整的，向量β又称为协整向量。

对于协整向量而言，作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不唯一的；协整变量必须具有相同的单整阶数；最多可能存在k-1个线性无关的协整向量（Y的维数是k）；协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例。

1.2.2 协整的恩格尔-格兰杰检验

协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另一种是基于回归残差的协整检验（residual-based test），如CRDW（cointegration regression Durbin-Watson）检验、EG（Engle-Granger）检验、AEG（augmented Engle-Granger）检验和PO（Phillips-Ouliaris）检验。

Engle和Granger（1987）提出了基于残差的协整检验方法。这种协整检验方法是对回归方程的残差进行单位根检验。从协整理论的思想来看，因变量和自变量之间存在协整关系。也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序列应该是平稳的。因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。

EG检验和AEG检验的主要步骤如下：

（1）若k+1个序列y和x₁，x₂，…，x_k都是1阶单整序列，建立回归方程

式中，y_t是因变量，x_t=（x_1，t，x_2，t，…，x_k，t）是解释变量向量，β是k维系数向量，u_t是误差项。估计的残差为。

（2）进行EG检验或AEG检验，检验残差序列是否平稳。

（3）EG检验和AEG检验方程中还可包含与DF检验或ADF检验类似的截距项和趋势项。协整检验统计量EG和AEG也等价于t统计量：

Engle和Granger提出的EG检验或AEG检验回归式与DF检验或ADF检验类似，但判断残差是否平稳所用的EG或AEG临界值表与DF或ADF临界值表不同。这是由于OLS估计的基本原理是使残差的平方和最小，所产生的残差序列的估计量的渐近分布与DF检验的t统计量的渐近分布不同，位于DF统计量分布位置的左侧。Mackinnon（1996）通过模拟实验得到了各种不同检验方程形式和回归因子不超过12个的协整检验临界值。

若式（1-16）得到的t＞临界值，则ρ=1，若t＜临界值，则ρ＜1。检验的原假设为H₀:ρ=1，非平稳，也即k+1个序列y和x₁，x₂，…，x_k之间没有协整关系。备择假设为H₁:ρ＜1，平稳，也即k+1个序列y和x₁，x₂，…，x_k之间存在协整关系，并且协整向量为。

1.2.3 误差修正模型设定形式的推导

Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来，建立了向量误差修正（VEC）模型。向量误差修正模型是含有协整约束的VAR模型，多应用于具有协整关系的非平稳时间序列建模，用来描述经济变量序列之间的长期表现和短期特征。

为了简要说明，不妨忽略外生变量，则VAR模型可写为

式中每个误差项ε_i（i=1，2，…，k）都具有平稳性。

设式（1-17）中的y_t所包含的k个序列之间存在协整关系，一个协整体系有多种表示形式，用误差修正模型表示是当前处理这种问题的普遍方法，即

式中的每个方程都是一个误差修正模型（ECM）；ecm_t-1=β′y_t-1是误差修正项，反映变量之间的长期均衡关系，系数矩阵α反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时，将其调整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化的影响，我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。

误差修正模型还可以削弱原模型的多重共线性，以及扰动项的序列相关性。

1.2.4 两步ECM估计

最常用的ECM模型的估计方法是Engle和Granger（1981）的两步ECM估计，其基本思想如下。

第一步是求模型y_t=k₀+k₁x_t+u_t的OLS估计，又称协整回归，得到x_t，并用AEG方法检验是否平稳，即

第二步是若平稳，用替换，即对再用OLS方法估计其参数。由此可知，误差修正模型不再单纯地使用变量的水平值（变量的原始值）或变量的差分建模，而是把两者有机地结合在一起，充分利用这两者所提供的信息。

1.2.5 ECM模型的实现

EG和AEG协整检验与两步ECM估计的主要函数为egranger，其语法格式为

egranger varlist[，ecm Lags（#）TRend QTRend REGress]

其选项及说明为

ecm：要求估计EG两步ECM。默认情况是报告EG/AEG协整测试。

lags（#）：指定要包含在AEG测试回归中的残差的第一个差值的lags数或要包含在ECM第二步回归中的潜在协整变量的第一个差值的lags数。

trend：指定线性趋势包含在第一步回归中。

qtrend：指定在第一步回归中包含二次趋势。

regress：要求报告第一步和（如适用）EG/AEG测试回归。

egranger命令对Engle和Granger（1987）提出的协整进行测试，报告测试统计数据加上MacKinnon（1990，2010）计算的临界值。egranger命令还将使用Engle和Granger（1981）提出的两步ECM估计。

例1.20 误差修正模型